Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/18 18:09] – [무작위 평균] admin
+++ 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/26 10:03] (current) – [무작위 평균] admin
@@ Line 450: / Line 450: @@
 로서, $\delta\left(N\nabla_{m} f_\text{TAP} \right)$ 덕분에 $\lvert \det \mathcal{A}(m) \rvert$가 $m^\alpha$의 위치들에서만 계산될 것이다. 절댓값 기호는 다루기가 불편하므로, 우리는 자유 에너지 밀도 $f$에 제한을 걸어 다음처럼 정의된 양을 다룬다:
 $$\mathcal{N}'(f) = \int Dm ~\delta\left(\nabla_{m} f_\text{TAP} \right) \det \mathcal{A}(m) ~\delta\left(Nf_\text{TAP}-Nf\right).$$
-$f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $\varepsilon$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다.
+$f$의 값이 충분히 낮다면 에너지 경관(energy landscape)은 수많은 극소점들을 가질 것이고 따라서 헤세 행렬의 [[수학:행렬식|행렬식(determinant)]] 값은 대개 양수일 것이며 $\mathcal{N}' \approx \mathcal{N}$일 것이다. 반면 $f$를 높게 설정한다면 안장점들이 주로 존재하는 경관을 보게 될 것이며, [[수학:행렬식|행렬식]] 값의 부호가 자주 음수가 될 수 있으므로 위와 같은 계산에 뭔가 불안정성이 나타날 것이라 기대할 수 있다.
 [[수학:디락_델타_함수|디락 델타 함수]]의 적분 표현을 도입하고 ($I \equiv \sqrt{-1}$)
@@ Line 717: / Line 717: @@
 ++++
-===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)===
+===카바냐 등(1999)의 계산===
 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자:
 \begin{eqnarray*}
@@ Line 786: / Line 786: @@
 기존의 적분 변수가 $m_i^a$, $\lambda_i^a$, $\bar{\psi}_i^a$, 그리고 $\psi_i^a$와 $\omega$로 $(4Nn+1)$개였다면 이제 $S_{ab}$, $L_{ab}$, $R_{ab}$, 그리고 $T_{ab}$ 및 $\omega$에 대한 $(4n^2+1)$차원의 적분으로 고쳐 쓰려고 하는데 그러기 위해서는 미리 적분을 수행하여 자유도를 맞춰주어야 한다. 예를 들어 직각 좌표계를 극 좌표계로 고치는 문제를 생각해보자. 피적분함수가 $r$만의 함수로 기술된다고 해도 원래의 2차원 적분을 $r$에 대한 1차원 적분으로 줄여서 적기 위해서는 $\int dx~dy ~\delta(\sqrt{x^2+y^2}-r) = 2\pi r$의 적분을 수행해주어야 한다.
 $$\int dx~dy ~\exp\left(-x^2-y^2\right) = \int dr~ \exp\left(-r^2\right) \left[ \int dx~dy ~\delta(\sqrt{x^2+y^2}-r)\right] = \int dr ~\exp\left(-r^2\right) ~2\pi r.$$
-지금의 경우 필요한 것은 아래와 같은 종류의 계산이어서, $N^{-1} \sum_i m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치면서 $n\times n$ 행렬 $S$의 행렬식인 $\det S$가, $N^{-1} \sum_i \bar{\psi}_i^a \psi_i^b$를 $T_{ab}$로 고치면서 $\det T$가 등장하게 된다. 극소점 근방을 보고 있다고 하면 지수 함수 안에 2차항으로 쓰는 것을 정당화할 수 있을 것이다. 이 계산에서는 $N^{-1}\sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치는 과정에서 앞에 붙는 부호가 뒤집힌다.
+지금의 경우 필요한 것은 아래와 같은 종류의 [[수학:허바드-스트라토노비치_변환|허바드-스트라토노비치 변환]]이어서, $N^{-1} \sum_i m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치면서 $n\times n$ 행렬 $S$의 행렬식인 $\det S$가, $N^{-1} \sum_i \bar{\psi}_i^a \psi_i^b$를 $T_{ab}$로 고치면서 $\det T$가 등장하게 된다. 극소점 근방을 보고 있다고 하면 지수 함수 안에 2차항으로 쓰는 것을 정당화할 수 있을 것이다. 이 계산에서는 $N^{-1}\sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b$를 $S_{ab}$로 고치는 과정에서 앞에 붙는 부호가 뒤집힌다.
 \begin{eqnarray*}
 \int Dm \exp\left[ \frac{N}{2} \sum_{ab} \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b \right)^2 \right] &=& \int Dm \int DS \exp\left[ -\frac{N}{2} \sum_{ab} S_{ab}^2 + \sum_{ab} S_{ab} \left( \sum_{i=1}^N m_i^a m_i^b \right) \right] = \int DS \exp\left( -\frac{N}{2} \sum_{ab} S_{ab}^2 \right) \left[ \det \left( -2S \right) \right]^{-N/2}\\
@@ Line 810: / Line 810: @@
 &\xrightarrow[n\to 0]{} & -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1^p s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right).
 \end{eqnarray*}
+이들을 짜맞추되 $\Sigma$의 전체적인 부호는 아래처럼 쓰는 것이 옳은 결과를 준다:
 \begin{eqnarray*}
-\Sigma(f) &=& \frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) - \frac{p}{4} I\omega \left( t_1 s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right)
+\Sigma(f) &=& -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1 s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right)
-- I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right]
++ I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right]
-+ \frac12 \frac{t_0}{t_1-t_0} + \frac12 \ln (t_1-t_0)
+- \frac12 \frac{t_0}{t_1-t_0}
--\frac12 \frac{t_0 + I\omega s_0}{t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)} -\frac12 \ln\left[ t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0) \right].
+- \frac12 \ln (t_1-t_0)
++ \frac12 \frac{t_0 + I\omega s_0}{t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)}
++ \frac12 \ln\left[ t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0) \right].
 \end{eqnarray*}
+$z\equiv t_1-t_0 + I\omega(s_1-s_0)$로 정의하고 [[수학:안장점_근사|안장점 근사]]를 사용하고자 극소점을 찾아보면:
+\begin{eqnarray*}
+&=& \left(\frac{2}{I\omega}\right) \frac{\partial \Sigma}{\partial s_1} = I\omega\frac{p}{2} s_1^{p-1} + \frac{p(p-1)}{2} t_1 s_1^{p-2} - \left[ \frac{1}{\beta(1-s_1)} + 2g'(s_1) \right] - \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2} + \frac{1}{z}\\
+&=& \left(\frac{2}{I\omega}\right) \frac{\partial \Sigma}{\partial s_0} = - I\omega \frac{p}{2} s_0^{p-1} - \frac{p(p-1)}{2} t_0 s_0^{p-2} + \frac{t_0 + I\omega s_0}{z^2}\\
+&=& 2 \frac{\partial \Sigma}{\partial t_1} = I\omega \frac{p}{2} s_1^{p-1} + \frac{t_0}{(t_1-t_0)^2} - \frac{1}{t_1-t_0} - \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2} + \frac{1}{z}\\
+&=& 2 \frac{\partial \Sigma}{\partial t_0} = - I\omega \frac{p}{2} s_0^{p-1} - \frac{t_0}{(t_1-t_0)^2} + \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2}.
+\end{eqnarray*}
+두 번째 식에서 네 번째 식을 빼어 $t_0=0$을 택하고, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼어 $t_1 = \beta(1-s_1)$을 택한다. 이는 자유 에너지가 가지는 곡률의 역수로서 요동을 기술하는 $t_1$을 자기 감수율(magnetic susceptibility)과 연결시킨다 ([[수학:인자_그래프|온사거 보정항]] 참조). 이 결과들을 대입하면 $s_0=0$인데, 임의의 $N$차원 벡터 두 개는 $N\to\infty$에서 직교하기 마련이므로 이것도 직관에 부합한다. 이 결과들을 위 세 번째 방정식에 대입하면 결국 $I\omega = 2/\left[ p\beta (1-s_1) s_1^{p-1} \right] - \beta (1-s_1)/s_1$처럼 $I\omega$를 $s_1$에 대해 고쳐 적을 수 있게 된다. 이를 다시 $\Sigma(f)$에 대입하면,
+$$\Sigma(f) = \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} + \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} - \frac{1}{p} + \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right] + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right].$$
+$\omega$에 대해서도 미분이 0이 될 것을 요구하면
+\begin{eqnarray*}
+&=& \omega \frac{\partial \Sigma}{\partial \omega} = -\frac12 \omega^2 s_1^p + \frac{p}{4} I\omega t_1 s_1^{p-1} + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right] + \frac{I\omega s_1}{2z}\\
+I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right]  &=& \frac12 \omega^2 s_1^p - \frac{p}{4} I\omega t_1 s_1^{p-1}- \frac{I\omega s_1}{2z}\\
+&=& -1 + \frac{2}{p} - \frac{2}{p^2 \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} - \frac12 \beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2}.
+\end{eqnarray*}
+따라서 복잡도는 아래처럼 구해지고
+$$\Sigma(f) = - \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} - \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} + \frac{1}{p} - \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right],$$
+이는 크리산티와 좀머스(1995)의 계산과 일치한다. 더 자세히 들여다보면 $\omega$가 복제 대칭성 깨짐이 일어나는 점인 $x$에 대응되기 때문에, 비록 앞에서 대칭적인 $S_{ab}$와 $T_{ab}$를 가정했지만 이로부터 계산되는 복잡도는 모형의 정적인 상태를 1RSB의 차원에서 기술함을 논할 수 있다.
 =====일반화된 자유 에너지=====