Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/26 09:24] – [무작위 평균] admin
+++ 물리:구면_p-스핀_유리_모형 [2026/05/26 10:03] (current) – [무작위 평균] admin
@@ Line 717: / Line 717: @@
 ++++
-===카바냐 등(1999)의 계산(작성 중)===
+===카바냐 등(1999)의 계산===
 먼저 $q \equiv N^{-1} \sum_i m_i^2$이고 온사거 반응 항을 $g(q) \equiv -(\beta/4) \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} +1\right]$라고 했을 때 다음과 같은 표현식들을 적어보자:
 \begin{eqnarray*}
@@ Line 810: / Line 810: @@
 &\xrightarrow[n\to 0]{} & -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1^p s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right).
 \end{eqnarray*}
-$\Sigma$의 전체적인 부호는 아래처럼 쓰는 것이 옳은 결과를 준다:
+이들을 짜맞추되 $\Sigma$의 전체적인 부호는 아래처럼 쓰는 것이 옳은 결과를 준다:
 \begin{eqnarray*}
 \Sigma(f) &=& -\frac{1}{4} \omega^2 \left(s_1^p - s_0^p \right) + \frac{p}{4} I\omega \left( t_1 s_1^{p-1} - t_0 s_0^{p-1} \right)
@@ Line 826: / Line 826: @@
 &=& 2 \frac{\partial \Sigma}{\partial t_0} = - I\omega \frac{p}{2} s_0^{p-1} - \frac{t_0}{(t_1-t_0)^2} + \frac{t_0+I\omega s_0}{z^2}.
 \end{eqnarray*}
-두 번째 식에서 네 번째 식을 빼어 $t_0=0$을 택하고, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼어 $t_1 = \beta(1-s_1)$을 택한다. 이 결과를 대입하면 $s_0=0$인데, 임의의 $N$차원 벡터 두 개는 $N\to\infty$에서 직교하기 마련이므로 이는 직관에 부합한다. 이 결과들을 세 번째 방정식에 대입하면 결국 $I\omega$를 $s_1$의 함수로 적을 수 있게 된다. 이를 다시 $\Sigma(f)$에 대입하면,
+두 번째 식에서 네 번째 식을 빼어 $t_0=0$을 택하고, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼어 $t_1 = \beta(1-s_1)$을 택한다. 이는 자유 에너지가 가지는 곡률의 역수로서 요동을 기술하는 $t_1$을 자기 감수율(magnetic susceptibility)과 연결시킨다 ([[수학:인자_그래프|온사거 보정항]] 참조). 이 결과들을 대입하면 $s_0=0$인데, 임의의 $N$차원 벡터 두 개는 $N\to\infty$에서 직교하기 마련이므로 이것도 직관에 부합한다. 이 결과들을 위 세 번째 방정식에 대입하면 결국 $I\omega = 2/\left[ p\beta (1-s_1) s_1^{p-1} \right] - \beta (1-s_1)/s_1$처럼 $I\omega$를 $s_1$에 대해 고쳐 적을 수 있게 된다. 이를 다시 $\Sigma(f)$에 대입하면,
 $$\Sigma(f) = \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} + \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} - \frac{1}{p} + \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right] + I\omega \left[ \frac{1}{2\beta} \ln (1-s_1) - g(s_1) + f \right].$$
 $\omega$에 대해서도 미분이 0이 될 것을 요구하면
@@ Line 835: / Line 835: @@
 \end{eqnarray*}
 따라서 복잡도는 아래처럼 구해지고
-$$\Sigma(f) = - \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} - \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} + \frac{1}{p} - \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right]$$
+$$\Sigma(f) = - \frac{1}{4}\beta^2 (1-p)(1-s_1)^2 s_1^{p-2} - \frac{1}{p^2\beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2}} + \frac{1}{p} - \frac12 - \frac12 \ln \left[ \frac{p}{2} \beta^2 (1-s_1)^2 s_1^{p-2} \right],$$
-이는 크리산티와 좀머스(1995)의 계산과 일치한다.
+이는 크리산티와 좀머스(1995)의 계산과 일치한다. 더 자세히 들여다보면 $\omega$가 복제 대칭성 깨짐이 일어나는 점인 $x$에 대응되기 때문에, 비록 앞에서 대칭적인 $S_{ab}$와 $T_{ab}$를 가정했지만 이로부터 계산되는 복잡도는 모형의 정적인 상태를 1RSB의 차원에서 기술함을 논할 수 있다.
 =====일반화된 자유 에너지=====
 평형 분배 함수 $Z$를 다음처럼 적어보자: