| Both sides previous revision Previous revision Next revision | Previous revision |
| 물리:기브스_역설 [2022/09/09 14:45] – [개요] admin | 물리:기브스_역설 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 |
|---|
| 그런데 구분가능한 입자에 대한 [[물리:엔트로피]] 표현식을 사용한다면, $N$이 충분히 큰 경우 하나하나의 입자를 결정의 위치에 고정하기 위해 치러야 하는 [[물리:엔트로피]]의 비용이 커져서 콜로이드의 결정화는 불가능하다는 결론을 내릴 수밖에 없다. 반면 실험적으로 콜로이드의 결정화는 잘 확립된 사실이다. 사실 여기에서 결정화가 불가능하다는 말은, 이 입자가 여기 와서 놓이고 이 입자는 저기 가서 놓이고 하는 식으로 만들어지는 '특정한' 결정이 만들어지기 불가능하다는 것뿐이다. 우리는 이 특정한 결정과 저 특정한 결정을 구분하지 않기로 함으로써 $N!$을 들여오고 따라서 구분불가능한 계의 [[물리:엔트로피]]로 돌아오게 된다. | 그런데 구분가능한 입자에 대한 [[물리:엔트로피]] 표현식을 사용한다면, $N$이 충분히 큰 경우 하나하나의 입자를 결정의 위치에 고정하기 위해 치러야 하는 [[물리:엔트로피]]의 비용이 커져서 콜로이드의 결정화는 불가능하다는 결론을 내릴 수밖에 없다. 반면 실험적으로 콜로이드의 결정화는 잘 확립된 사실이다. 사실 여기에서 결정화가 불가능하다는 말은, 이 입자가 여기 와서 놓이고 이 입자는 저기 가서 놓이고 하는 식으로 만들어지는 '특정한' 결정이 만들어지기 불가능하다는 것뿐이다. 우리는 이 특정한 결정과 저 특정한 결정을 구분하지 않기로 함으로써 $N!$을 들여오고 따라서 구분불가능한 계의 [[물리:엔트로피]]로 돌아오게 된다. |
| |
| | 기브스의 질문에 대한 답 역시, 우리가 언제 빨강과 파랑을 구분하기를 포기하는지에 달려있다. |
| | |
| | 많은 교과서에서 구분가능한 계의 [[물리:엔트로피]]를 먼저 유도한 다음 $N!$을 사후적으로 도입하고 그 근거를 양자역학에서 찾곤 한다. 심지어 후앙의 통계역학 교과서에서는 이렇게까지 말한다: //"고전적으로는 왜 $N!$으로 나눠야 상태 수를 옳게 셈하는 것인지 이해하는 것이 불가능하다. 그 이유는 근본적으로 양자역학적인 것이다."// 그러나 콜로이드 계의 예가 보여주듯이 양자역학은 $N!$을 도입하는 간편한 방법이기는 하지만 반드시 필요한 과정은 아니다. |
| | |
| | =====볼츠만의 정의===== |
| | 스웬센은 원래 볼츠만의 [[물리:엔트로피]] 정의에서는 $N!$의 문제가 이미 해결되어 있었다고 주장한다. 플랑크가 볼츠만의 묘비에 적었던 식 $S = \log W$에서 $W$는 상태공간의 부피가 아니라 Wahrscheinlichkeit, 즉 확률이었다는 것이다. 부피 $V_1$과 $V_2$의 두 부분으로 나뉘어 있는 계에서 한쪽에 $N_1$ 개의 입자가, 다른 쪽에 $N_2$ 개의 입자가 들어갈 확률은 |
| | $$P(N_1, N_2) = \frac{N!}{N_1! N_2!} \left(\frac{V_1}{V}\right)^{N_1} \left(\frac{V_2}{V}\right)^{N_2}$$ |
| | 인데 ($N=N_1+N_2$) 여기에 이미 $N!$ 형태가 들어가 있는 것을 볼 수 있다. 물론 여기에서도 우리는 $N_1$, $N_2$ 개로 나뉘어진 모든 경우를 하나의 동일한 거시상태에 대응시키고 있는 것이다. |
| | |
| | =====주관성의 문제===== |
| | [[물리:엔트로피]]가 어디까지 구분하고 어디부터 같다고 볼 것인지에 달려 있다고 하는 것은 물리에 주관성을 도입하는 느낌을 준다. 가역과정에서 전달된 열은 [[물리:엔트로피]] 변화에 비례하는데 열은 어쨌든 객관적으로 측정되는 물리량인 것이다. |
| | 그런데 [[물리:열역학 제1법칙]]에서 암시되고 있는 바는, 열과 일의 구분이 절대적이지 않다는 것이다. 전통적으로, 거시적인 관찰자에게 측정되는 자유도에 연관된 에너지 변화는 일(work)이라고 불리고 나머지가 열(heat)로 불린다. 만일 관찰자가 개입할 수 있는 자유도가 피스톤의 위치보다 더 많아지고 또 그것이 모든 관찰자에게 공통된 것이라면 새로운 일과 열의 구분 역시 객관적인 의미를 가지게 될 것이다. 이것이 [[물리:엔트로피]]를 정보의 관점에서 이해할 때 도달하는 결론이다. |
| |
| |
| * Michael E. Cates and Vinothan N. Manoharan, //Celebrating Soft Matter's 10th anniversary: Testing the foundations of classical entropy: colloid experiments//, Soft Matter 11, 6538 (2015). | * Michael E. Cates and Vinothan N. Manoharan, //Celebrating Soft Matter's 10th anniversary: Testing the foundations of classical entropy: colloid experiments//, Soft Matter 11, 6538 (2015). |
| * Daan Frenkel, //Why colloidal systems can be described by statistical mechanics: some not very original comments on the Gibbs paradox//, Mol. Phys. 112, 2325 (2014). | * Daan Frenkel, //Why colloidal systems can be described by statistical mechanics: some not very original comments on the Gibbs paradox//, Mol. Phys. 112, 2325 (2014). |
| | * K. Huang, //Statistical Mechanics// (Wiley, New York, 1963). |
| | * Robert H. Swendsen, //Statistical Mechanics of colloids and Boltzmann's definition of the entropy//, Am. J. Phys. 74, 187 (2006). |
| |