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--- 물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/16 13:33] – [$Z_1$의 계산] admin
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 ======온곳으로 연결된 경우======
-=====자유 에너지=====
+=====해밀토니안=====
 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
 $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$
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 =====복제 방법=====
-$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제(replica) 방법]]을 사용한다:
+$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제 방법]]을 사용한다:
 $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$
 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며
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 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면
 $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$
+=====자유 에너지의 계산=====
+지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다:
+\begin{eqnarray}
+\left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
+&\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].
+\end{eqnarray}
+그러므로
+\begin{eqnarray}
+\left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\
+&=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
+\end{eqnarray}
+이다.
+=====질서 변수=====
+이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면
+$$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$
+으로부터
+\begin{eqnarray}
+m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\
+&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}}  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\
+&=& \int dh P(h)  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]
+\end{eqnarray}
+을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다.
+이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다.
+======함께 보기======
+[[물리::셰링턴-커크패트릭 모형]]
+======참고문헌======
+  * https://inordinatum.wordpress.com/2013/01/20/mean-field-solution-of-the-random-field-ising-model/
+  * T. Schneider and E. Pytte, //Random-field instability of the ferromagnetic state//, Phys. Rev. B 15, 1519 (1977)