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--- 물리:바퀴의_회전 [2023/03/31 21:46] – [회전의 중심] admin
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 {{:물리:yoyo1.png?800|}}
+분석을 위해 아래처럼 작은 반지름 $r$, 큰 반지름 $R$이며 질량이 $m$, 질량중심 주위로의 관성모멘트가 $I_\text{CM}$인 요요를 각도 $\theta$이고 크기 $T$인 장력으로 잡아당긴다고 하자.
+{{:물리:wheel_rot.png?250|}}
+오른쪽을 + 부호로 하는 수평방향의 병진운동에 관해서는
+\begin{equation}
+T \cos\theta - f = ma
+\end{equation}
+으로서 질량중심의 가속도 $a$를 얻고, 바퀴 중심을 축으로 하여 반시계방향을 +로 하는 회전운동에 관해서는 다음 식을 얻는다.
+\begin{equation}
+Tr-fR = I_\text{CM} \alpha.
+\end{equation}
+미끄러짐이 없다고 하면 $a = -R\alpha$로 연결된다. 앞의 마이너스 부호는 바퀴가 오른쪽으로 구를 때 ($a>0$) 시계방향으로 회전해야 한다는 ($\alpha<0$) 방향성을 나타낸 것이다. $f$와 $\alpha$를 미지수로 놓고 풀어보면
+\begin{equation}
+\alpha = \frac{T(r-R\cos\theta)}{(I_\text{CM}+mR^2)}
+\end{equation}
+을 얻는다.
+따라서 $r < R\cos\theta$일 때에 바퀴가 오른쪽으로 굴러가고, $r> R\cos\theta$이면 왼쪽, $r=R\cos\theta$이면 어느 쪽으로도 구르지 않는다. 이 마지막 등호 조건은 잡아당기는 줄을 연장한 선이 접촉점 $P$를 똑바로 가리킬 때에 만족된다. 이는 접촉점 $P$를 회전 중심으로 간주하면 곧바로 얻을 수 있는 결과이다.
+======요요 문제의 분석======
 이제 아래의 문제를 분석해보자.
 {{:물리:yoyo2.png?200|}}
+=====힘과 토크=====
 요요의 질량은 $m$이고 관성 모멘트는 $I$이며, $f$는 정지마찰력을 의미한다. $x$ 방향의 병진 운동을 기술하면
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 $$f = \frac{T(I-mrR)}{I+mR^2}$$
 로서 $T$에 비례하는 값으로 구해진다. 만일 $T=0$이라면 $f$도 0이 되어 바퀴는 운동상태를 계속 유지할 것이다.
-흥미롭게도, 바퀴의 모양에 따라 $I<mRr$이면 마찰력 $f$는 $T$와 같은 방향일 수도 있게 된다.
+흥미롭게도, 상황에 따라 $I<mRr$이면 (예를 들어 $I=\frac{1}{2}mR^2$이고 $r=R$) 마찰력은 $f<0$이 되어 $T$와 같은 방향일 수도 있게 된다.
+=====일과 에너지=====
 에너지의 측면에서, 정지마찰력이 바퀴에 하는 알짜 일은 0이다.
   - 이를 보는 가장 쉬운 방법은, 앞에서처럼 원을 정다각형의 극한으로 보는 것이다. 힘이 작용하는 꼭지점은 바닥에 대해 움직이지 않으므로 일을 할 수 없다. (단, 정지마찰력이 하는 일이 언제나 0인 것은 아니다. 트럭에 짐을 싣고 트럭을 가속했을 때 트럭 바닥의 정지마찰력은 짐에 일을 한다.)
-  - 혹은 이렇게 생각할 수도 있다. 앞의 병진 운동 식에서 보듯이, 정지마찰력은 실제로 바퀴 질량중심의 가속도에 영향을 준다. 질량중심이 움직인 변위를 $L$이라고 하면 정지마찰력이 한 일은 $-fL$이다. 동시에, 정지마찰력은 바퀴 중심을 회전축으로 하여 회전 운동을 하게끔 토크를 준다. 바퀴가 각도 $\theta$만큼 돌았다면 정지마찰력이 이 부분에 한 일은 $fR\theta$이다. 미끄러짐이 없으므로 $L=R\theta$이고, 따라서 정지마찰력이 한 알짜 일은 $-fL + fR\theta = 0$이다. 그러므로 정지마찰력은 알짜 일을 하지 않고 단지 병진 운동의 에너지 일부를 회전 운동 에너지로 바꾸는 역할을 한다고 말할 수도 있다.
+  - 혹은 이렇게 생각할 수도 있다. 앞의 병진 운동 식에서 보듯이, 정지마찰력은 실제로 바퀴 질량중심의 가속도에 영향을 준다. 질량중심이 움직인 변위를 $L$이라고 하면 정지마찰력이 질량중심에 한 일은 $-fL$이다. 동시에, 정지마찰력은 바퀴 중심을 회전축으로 하여 회전 운동을 하게끔 토크를 준다. 바퀴가 각도 $\theta$만큼 돌았다면 정지마찰력이 이 회전에 한 일은 $fR\theta$이다. 미끄러짐이 없으므로 $L=R\theta$이고, 따라서 정지마찰력이 한 알짜 일은 $-fL + fR\theta = 0$이다. 그러므로 정지마찰력은 알짜 일을 하지 않고 단지 병진 운동의 에너지 일부를 회전 운동 에너지로 바꾸는 역할을 했다고 말할 수 있다.
+  - 혹은 그 반대로 회전 운동 에너지 일부를 병진 운동 에너지로 바꾸는 방향일 수도 있는데 ($f<0$이어서 정지마찰력이 회전을 감소시키는 경우에 해당할 것이다), 마찰이 없는 도로에서 바퀴를 돌리기 시작한 자동차를 상상해보자. 자동차는 앞으로 나아가지 못하고 엔진이 한 일은 모두 바퀴의 회전 운동 에너지로 갈 것이다. 정지마찰력의 존재가 이 회전 운동 에너지를 질량중심의 병진 운동 에너지로 바꾼다.
+질량중심이 $v_{\text{CM},i}$의 속도로 움직이며 구르고 있는 요요를 생각하자. 반지름 $r$에 감겨있는 실을 장력 $T$로 잡아당겨 요요의 질량중심이 변위 $L$만큼을 이동했다면 그 동안 돌아간 각도는 $\theta = L/R$이고, 따라서 실이 $l = r\theta = (r/R)L$만큼 풀렸을 것이다. 실을 잡아당긴 힘이 한 일은 $W = T(L+l) = TL(1+r/R)$이다. 이 일이 요요의 병진 및 회전 운동 에너지 변화량이 된다.
+$$TL\left( 1+ \frac{r}{R} \right) = \left( \frac{1}{2}mv_{\text{CM}^2,f} + \frac{1}{2} I\omega_f^2 \right) - \left( \frac{1}{2}mv_{\text{CM}^2,i} + \frac{1}{2} I\omega_i^2 \right) = \left[ \frac{1}{2}mv_{\text{CM},f}^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v_{\text{CM},f}^2}{R^2}\right) \right] - \left[ \frac{1}{2}mv_{\text{CM},i}^2 + \frac{1}{2} I \left(\frac{v_{\text{CM},i}^2}{R^2}\right) \right].$$
+이 식을 정리하면 질량중심의 나중 속력 $v_{\text{CM},f}$을 구할 수 있다. 질량중심이 가속도 $a_\text{CM} = (T-f)/m$로 등가속도 운동을 하고 있음을 생각해 분석해도 된다. $L$만큼 이동하는 데 걸리는 시간 $\Delta t$를 $L = v_{\text{CM},i} \Delta t + \frac{1}{2}a_\text{CM} \Delta t^2$을 통해 알아낸 다음 아래 식에 대입한다:
+$$v_{\text{CM},f} = v_{\text{CM},i} + a_\text{CM} \Delta t.$$
+이를 정리해보면 위와 동일한 결과이다.
+====잠김방지제동장치(Anti-lock Braking System, ABS)====
+위의 그림이 요요 대신 자동차 바퀴라고 생각하자. 실 대신에 브레이크 패드가 접촉하여 운동마찰력 $T$를 준다고 해도 위에서 적은 일-에너지 관계식의 좌변 $TL(1+r/R)$은 그대로 성립한다. 왜냐하면 운동마찰력이 질량중심의 변위 $L$만큼을 따라가며 작용하고, 거기에 더해 바퀴의 회전에 의한 접촉지점의 이동거리 $r\theta = L(r/R)$만큼도 추가적으로 일을 하기 때문이다.
+비록 ABS의 일차적인 목적은 제동거리를 줄이는 것보다 차량의 방향 제어능력을 유지하는 데 있지만, 여기에서는 간단히 위의 결과를 사용하여 제동거리의 측면을 생각해보자.
+초기속도 $v_{\text{CM},i}$는 주어진 값이고 바퀴가 최종적으로 정지해야 하므로 $v_{\text{CM},f}=0$이다. 따라서 $T$와 $L$은 다른 부호를 가지며, $L$의 크기, 즉 제동거리를 최소화하기 위해서는 $T$의 크기를 최대한 증가시켜야 한다.
+그런데 바닥이 주는 정지마찰력 $f$가 $T$에 비례하기 때문에, $T$가 지나치게 커지면 $f$가 바닥의 최대정지마찰력을 넘어설 수 있다. 이는 바퀴가 바닥으로부터 미끄러진다는 뜻이다. 극단적으로 바퀴가 잠겨버리면 그때부터 운동 에너지 소모는 바닥과 바퀴 사이 __운동마찰력__이 하는 일에 의해 일어난다 (바퀴가 잠기기 전까지는 둘 사이에 __정지마찰력__이 작용하고 있었다). 반면 바퀴와 브레이크 패드 사이에는 상대 운동이 없으므로 바퀴 질량중심의 운동 에너지를 줄이는 일을 브레이크 패드는 더 이상 하지 못한다.
 ======참고문헌======
-  * Serway and Jewett, 대학물리학(Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics) 10판 (북스힐, 2019).
+  * Serway and Jewett, 대학물리학(Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics) 10판 (북스힐, 2019), 예제 10.14.
   * https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Mathematical_Physics_and_Pedagogy/Pedagogy/The_Axis_of_Rotation_for_Rolling_Motion
   * https://physics.stackexchange.com/questions/606270/where-does-a-torque-invoking-force-belong-in-work-energy-theorem?
+  * https://physics.stackexchange.com/questions/346660/work-done-by-static-friction-on-a-car