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--- 물리:반데르발스_모형 [2025/11/11 16:05] – [임계지수 $\beta$] admin
+++ 물리:반데르발스_모형 [2025/11/13 17:28] (current) – [맥스웰 작도] admin
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 ====맥스웰 작도====
-어떤 고정된 $\tau$에서 $\pi$를 $\phi$의 함수로 그린다고 생각해보자. 이때 $\tau<0$이고 $|\tau|\ll 1$이므로 선은 위아래로 오고 가지만, 실제로는 맥스웰 작도에 의해 일정한 압력 $\pi^\ast$를 유지하면서 상전이가 일어날 것이다. 기체였다가 응축이 시작되는 점의 부피를 $\phi^\ast_g$, 응축이 완료되어 모두 액체가 되는 지점의 부피를 $\phi^\ast_l$이라고 하자.
+어떤 고정된 $\tau$에서 $\pi$를 $\phi$의 함수로 그린다고 생각해보자. 이때 $\tau<0$이라고 하면 선이 위아래로 오고 가지만 (단, $|\tau|\ll 1$), 실제로는 맥스웰 작도에 의해 일정한 압력 $\pi^\ast$를 유지하면서 상전이가 일어날 것이다. 기체였다가 응축이 시작되는 점의 부피를 $\phi^\ast_g$, 응축이 완료되어 모두 액체가 되는 지점의 부피를 $\phi^\ast_l$이라고 하자. 이때 $\phi^\ast_l<0$이고 $\phi^\ast_g>0$이다. 맥스웰 작도에 의하면 다음 세 개의 식이 만족되어야 한다.
+\begin{eqnarray*}
+\pi^\ast &=& 4\tau - 6\tau \phi^\ast_l + 9\tau {\phi^\ast_l}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_l}^3\\
+\pi^\ast &=& 4\tau - 6\tau \phi^\ast_g + 9\tau {\phi^\ast_g}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_g}^3\\
+\pi^\ast (\phi^\ast_g - \phi^\ast_l) &=& \int_{\phi^\ast_l}^{\phi^\ast_g} \left( 4\tau - 6\tau \phi + 9\tau {\phi}^2 - \frac{3}{2} {\phi}^3 \right) d\phi\\
+&=& 4\tau \left(\phi^\ast_g - \phi^\ast_l \right) - 3\tau \left({\phi^\ast_g}^2 - {\phi^\ast_l}^2 \right) + 3\tau \left({\phi^\ast_g}^3 - {\phi^\ast_l}^3 \right) - \frac{3}{8} \left({\phi^\ast_g}^4 - {\phi^\ast_l}^4 \right).
+\end{eqnarray*}
+마지막 식의 양변을 $\left(\phi^\ast_g - \phi^\ast_l \right)$로 나누어 주면, 다음의 식을 얻는다.
+\[ \pi^\ast = 4\tau - 3\tau \left(\phi^\ast_g+\phi^\ast_l \right) + 3\tau \left({\phi^\ast_g}^2 + {\phi^\ast_l}^2 + \phi^\ast_g \phi^\ast_l \right) - \frac{3}{8} \left({\phi^\ast_g}^3 + {\phi^\ast_l}^3 + {\phi^\ast_g}^2 {\phi^\ast_l} + {\phi^\ast_g} {\phi^\ast_l}^2 \right). \]
+===직접 풀이===
+이 세 식을 연립하여 풀고 $\tau$의 급수로 전개하면 (컴퓨터 대수 시스템을 사용해야 한다) 유일한 물리적 해로 다음과 같은 결과를 얻는다.
+\begin{eqnarray*}
+\pi^\ast &=& 4\tau - 12\tau^2 + \ldots\\
+\phi^\ast_l &=& -2\sqrt{-\tau} + 2\tau + \ldots\\
+\phi^\ast_g &=& +2\sqrt{-\tau} + 2\tau + \ldots\\
+\end{eqnarray*}
+따라서 마지막의 두 식으로부터 $\beta = 1/2$이다.
+===섭동을 사용한 풀이===
+먼저 $\phi=0$일 때의 결과인 $\pi^\ast \approx 4\tau$가 계속해서 만족된다고 가정하자. 이렇게 풀어 나갔을 때 $\lvert {\phi^\ast}^3_{l,g} \lvert \ll |\tau|$이라면 이 가정은 정당한 것으로 판명될 것이다. 그러면 아래의 식을 풀게 되는데
+\[ 0 = - 6\tau \phi^\ast + 9\tau {\phi^\ast}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast}^3 \]
+이는 사실상 이차방정식에 불과하므로 그 해는 $|\tau|$가 매우 작을 때 다음처럼 얻어진다.
+\[ \phi^\ast = 3\tau \pm \sqrt{9\tau^2 - 4\tau} \approx \pm 2\sqrt{-\tau}.\]
+이것은 위에서 직접 풀이한 결과의 첫 항들을 옳게 재현하며, $\lvert {\phi^\ast}^3_{1,2} \lvert \propto |\tau|^{3/2} \ll |\tau|$ 역시 만족한다.
+다음 차수의 항들을 구하기 위해서는 다음처럼 가정한다.
+\begin{eqnarray*}
+\pi^\ast &=& 4\tau + c_1\tau^2\\
+\phi^\ast_l &=& -2\sqrt{-\tau} + c_2\tau\\
+\phi^\ast_g &=& +2\sqrt{-\tau} + c_3\tau\\
+\end{eqnarray*}
+이를 위 세 개의 연립방정식에 집어넣고 가장 낮은 차수부터 정리해 적으면 다음과 같다.
+\begin{eqnarray*}
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 6\tau \phi^\ast_l + 9\tau {\phi^\ast_l}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_l}^3 = (-36-c_1+12c_2)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right)\\
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 6\tau \phi^\ast_g + 9\tau {\phi^\ast_g}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_g}^3 = (-36-c_1+12c_3)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right)\\
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 3\tau \left(\phi^\ast_g+\phi^\ast_l \right) + 3\tau \left({\phi^\ast_g}^2 + {\phi^\ast_l}^2 + \phi^\ast_g \phi^\ast_l \right) - \frac{3}{8} \left({\phi^\ast_g}^3 + {\phi^\ast_l}^3 + {\phi^\ast_g}^2 {\phi^\ast_l} + {\phi^\ast_g} {\phi^\ast_l}^2 \right) = (-12-c_1)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right).
+\end{eqnarray*}
+따라서 $\tau^2$ 앞의 계수들을 $0$으로 만들게끔 $a$, $b$, $c$를 결정하면 $c_1=-12$와 $c_2=c_3=2$를 얻는다. 이것 역시 직접 풀이한 결과와 일치한다.
 =====임계지수 $\gamma$=====
+등온압축률에 대한 식을 고쳐 적으면 다음과 같으며
+\begin{eqnarray*}
+\kappa_T &=& - \frac{1}{V} \left( \frac{\partial V}{\partial P} \right)_T\\
+ &=& - \frac{1}{V/V_c} \frac{1}{P_c} \left( \frac{\partial v}{\partial p} \right)_t\\
+ &\approx& - \frac{1}{P_c} \left( \frac{\partial \phi}{\partial \pi} \right)_\tau
+\end{eqnarray*}
+마지막 줄로 넘어올 때에 $V\approx V_c$임을 이용했다.
+그러면 $\left( \partial \pi / \partial \phi \right)_\tau = -6\tau - \frac{9}{2}\phi^2$이다. 그리고 $\tau>0$일 때에는 $\phi=0$, 그리고 $\tau<0$일 때에는 $\phi^2 = -4\tau$로 놓을 수 있기 때문에
+\[
+\kappa_T = \frac{1}{P_c} \left(\frac{1}{6\tau + \frac{9}{2}\phi^2}\right) = \left\{
+\begin{array}{ll}
+\frac{1}{6P_c \tau} & \tau>0\\
+-\frac{1}{12P_c \tau} & \tau<0
+\end{array}
+\right.
+\]
+로서, $\tau$의 부호에 상관없이 $\kappa_T \propto |\tau|^{-1}$로 발산한다. 따라서 $\gamma = \gamma' = 1$이다.
 ======함께 보기======