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--- 물리:반데르발스_모형 [2025/11/11 17:33] – [임계지수 $\gamma$] admin
+++ 물리:반데르발스_모형 [2025/11/13 17:28] (current) – [맥스웰 작도] admin
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 따라서 마지막의 두 식으로부터 $\beta = 1/2$이다.
+===섭동을 사용한 풀이===
+먼저 $\phi=0$일 때의 결과인 $\pi^\ast \approx 4\tau$가 계속해서 만족된다고 가정하자. 이렇게 풀어 나갔을 때 $\lvert {\phi^\ast}^3_{l,g} \lvert \ll |\tau|$이라면 이 가정은 정당한 것으로 판명될 것이다. 그러면 아래의 식을 풀게 되는데
+\[ 0 = - 6\tau \phi^\ast + 9\tau {\phi^\ast}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast}^3 \]
+이는 사실상 이차방정식에 불과하므로 그 해는 $|\tau|$가 매우 작을 때 다음처럼 얻어진다.
+\[ \phi^\ast = 3\tau \pm \sqrt{9\tau^2 - 4\tau} \approx \pm 2\sqrt{-\tau}.\]
+이것은 위에서 직접 풀이한 결과의 첫 항들을 옳게 재현하며, $\lvert {\phi^\ast}^3_{1,2} \lvert \propto |\tau|^{3/2} \ll |\tau|$ 역시 만족한다.
+다음 차수의 항들을 구하기 위해서는 다음처럼 가정한다.
+\begin{eqnarray*}
+\pi^\ast &=& 4\tau + c_1\tau^2\\
+\phi^\ast_l &=& -2\sqrt{-\tau} + c_2\tau\\
+\phi^\ast_g &=& +2\sqrt{-\tau} + c_3\tau\\
+\end{eqnarray*}
+이를 위 세 개의 연립방정식에 집어넣고 가장 낮은 차수부터 정리해 적으면 다음과 같다.
+\begin{eqnarray*}
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 6\tau \phi^\ast_l + 9\tau {\phi^\ast_l}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_l}^3 = (-36-c_1+12c_2)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right)\\
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 6\tau \phi^\ast_g + 9\tau {\phi^\ast_g}^2 - \frac{3}{2} {\phi^\ast_g}^3 = (-36-c_1+12c_3)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right)\\
+&=& -\pi^\ast + 4\tau - 3\tau \left(\phi^\ast_g+\phi^\ast_l \right) + 3\tau \left({\phi^\ast_g}^2 + {\phi^\ast_l}^2 + \phi^\ast_g \phi^\ast_l \right) - \frac{3}{8} \left({\phi^\ast_g}^3 + {\phi^\ast_l}^3 + {\phi^\ast_g}^2 {\phi^\ast_l} + {\phi^\ast_g} {\phi^\ast_l}^2 \right) = (-12-c_1)\tau^2 + O\left( \tau^{5/2} \right).
+\end{eqnarray*}
+따라서 $\tau^2$ 앞의 계수들을 $0$으로 만들게끔 $a$, $b$, $c$를 결정하면 $c_1=-12$와 $c_2=c_3=2$를 얻는다. 이것 역시 직접 풀이한 결과와 일치한다.
 =====임계지수 $\gamma$=====