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--- 물리:범함수_방정식_functional_equation [2022/09/01 11:28] – minwoo
+++ 물리:범함수_방정식_functional_equation [2023/09/07 07:01] (current) – minwoo
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 ====== 범함수 방정식 (functional equation) ======
 '범함수(functional)'를 쉽게 표현하자면 '함수의 함수' 이다. 어떤 변수  $x$ 의 집합을 정의역으로 갖는 함수  $g(x)$ 가 있을 때, 그 함수  $g(x)$ 의 집합을 정의역으로 갖는 함수가 있다면 그를 '범함수'라고 부르기 때문이다.  $\\$
 그러한 범함수를 이용하여 기술되는 방정식이 있다면 그를 '범함수 방정식(functional equation)' 이라고 부른다. 가령, 아래의 식을 예로 들어볼 수 있다.  $\\$
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 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙이겠다.) $\\$
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- $g(x)$ 는  $x=0$  근처에서 전개하였을 때 다음과 같은 형태의 '테일러 전개 (taylor expansion)'이 가능하다고 하자. $\\$
+ $g(x)$ 는  $x=0$  근처에서 전개하였을 때 다음과 같은 형태의 '테일러 전개 (Taylor expansion)'이 가능하다고 하자. $\\$
  $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$   $\\$
-이때,  $x$ 에 대한 1차항의 계수가  $0$ 인 이유는  $g(x)$ 가  $x=0$ 에서 극대값을 갖기 때문이며, $\\$
+이때,  $x$ 에 대한 1차항의 계수가  $0$ 인 이유는  $g(x)$ 가  $x=0$ 에서 극대값을 갖기 때문이며, 물론 그러한 상황에서는  $x$ 의 2차항의 계수인  $b$ 는 $0$이 되어서는 안될 것이다. $\\$
-물론 그러한 상황에서는  $x$ 의 2차항의 계수인  $b$ 는 0이 되어서는 안될 것이다. $\\$
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-그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '계수  $b$ 와  $d$ , 그리고 '축적인자'  $\alpha$ 를 구해볼 수 있는가' $\\$
+그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '각각의 계수  $b$ 와  $d$ , 그리고 '축적 인자'  $\alpha$ 를 구해볼 수 있는가' $\\$
-'또한,  $x$ 에 대한 3차항이 위 전개에 포함되지 않는다는 것을  $c=0$  임을 통해 보일 수 있겠는가' $\\$
+'또한,  $x$ 에 대한 3차항이,  $g(x)$ 를  $x=0$  근처에서 테일러 전개한 식에 포함되지 않는다는 것을  $c=0$  임을 통해 보일 수 있겠는가' $\\$   $\\$
+이번 게시글에서는, 이와 같은 범함수 방정식에 대한 문제를 풀이하는 기초적인 방법을 소개하고 설명하는 것에 그 목적이 있다.
 ====== 계수를 직접 구하기 ======
 계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다.  $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$  라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다.
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 이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 'Mathematica'를 이용해 보자.) $\\$
 우선 아래와 같이 2차항, 3차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다면,  $g(x)$  및  $\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right)$  는 다음과 같다.  $\\$
-{{:물리:mathematica_수정_1.png?1500|}}
+{{:물리:mathematica_수정_1.png?1700|}} $\\$
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 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, 각각 다음과 같다. $\\$
-{{:물리:mathematica2.png?380|}} $\\$
+{{:물리:mathematica_수정_2.png?350|}} $\\$
  $\\$
-이렇게 얻어진 0차, 2차, 4차항의 계수들은 각각  $1,\ b,\ d$  와 같아야하며, 그를 설명하는 수식은 앞서 언급한 수식과 같다 :  $g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$    $\\$
+이렇게 얻어진 0차, 2차, 3차, 그리고 4차항의 계수들은 각각 $1,\ b,\ c, \ d $와 같아야하며, 그를 설명하는 수식은 앞서 언급한 수식과 같다 :$  $g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$ \$
 그 3가지 조건과, 초반에 언급한  $\alpha<0$  및  $b \ne 0$  을 함께 연립한다면, 그를 풀이하는 (아래와 같은) 함수를 이용하여 풀이하자. $\\$   $\\$
-{{:물리:mathematica3.png?700|}} $\\$
+{{:물리:mathematica_수정_3.png?1100|}} $\\$
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-즉, 일련의 과정에 따라 계산한 결과는 $c_2=-1.52224,\ c_4=0.127613,\ \alpha=-2.53403 $와 같다.$ \$
+즉, 일련의 과정에 따라 계산한 결과는 $b=-1.52224,\ d=0.127613,\ \alpha=-2.53403$ 와 같다. 또한, 3차항의 계수인  $c$ 는  $0$ 이다. $\\$
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-아래에 표기한 **참고문헌**에 따르면, $c_2 \approx -1.5276,\ c_4 \approx 0.1048,\ \alpha \approx -2.5029 $와 같이 얻어진다고 한다.$ \$
+아래에 표기한 **참고문헌**에 따르면, $b \approx -1.5276,\ d \approx 0.1048,\ \alpha \approx -2.5029 $와 같이 얻어진다고 한다.$ \$
-따라서, 두 결과는 소수점 첫번째자리 까지는 잘 상응하지만 그 이후 소수점 자리 부터는 분명 오차를 보인다. $\\$
+따라서, 두 결과는 소수점 첫 번째 자리 까지는 잘 상응하지만 그 이후 소수점 자리부터는 분명 오차를 보인다. $\\$
 해당 참고문헌에는 저자들에 의해 직접 사용된 수치해석적인(numerical) 계산법이 자세하게 묘사되어 있지 않지만, 어떤 이는 여러가지 방법을 통해 위의 오차를 줄여낼 수 있을 것이다. $\\$   $\\$
 ====== 참고문헌 ======
   * Steven H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos (CRC Press, 2015).