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--- 물리:비관성계 [2024/06/26 22:37] – [참고문헌] admin
+++ 물리:비관성계 [2025/05/13 09:49] (current) – [회전 행렬] admin
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 -\omega_y & \omega_x & 0
 \end{pmatrix}.$$
-만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \omega(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
+만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \vec{\omega}(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
 ======오일러 운동방정식======
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 \end{eqnarray*}
-=====예=====
+=====첫 번째 예=====
 각속도 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$로 LP 디스크가 회전하고 있다고 하자.
 그 위에서 벌레 한 마리가 음반 홈을 따라 음반이 회전하는 것과 같은 방향으로 움직이고 있는데, 회전축으로부터 거리 $\rho$만큼 떨어져 있으며, 음반에 대하여 일정 속력 $v_b$를 가지고 있다.
@@ Line 91: / Line 91: @@
  &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B.
 \end{eqnarray*}
-여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 영벡터가 아님에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.
+여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 __영벡터가 아님__에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.
 비관성 좌표계 $B$가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면
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 이것이 오일러 운동방정식이다.
+=====두 번째 예=====
+{{ :물리:dumbbell.png?300 |}}
+그림처럼 길이 $a$인 가벼운 막대기 2개에 의해 질량 $m$인 물체가 연결된 형태의 아령을 생각하자. 이 아령이 $z$축 방향으로 고정된 축을 중심으로 회전하고 있어서, 각속도 벡터는 $\vec{\omega} = \omega \hat{k}$로 주어진다. 아령은 축으로부터 각도 $\theta$만큼 기울어진 상태이며, $t=0$인 현재 $yz$ 평면 안에 위치한다.
+이 순간의 관성 모멘트 텐서를 구해보면 $m_1=m_2=m$이고 $\vec{r}_1(t=0) = (x_{11}, x_{12}, x_{13}) = (0, a \sin\theta, -a\cos\theta)$, 그리고 $\vec{r}_2(t=0) = (x_{21}, x_{22}, x_{23}) = (0, -a\sin\theta, a\cos\theta)$이므로 아래와 같다:
+\begin{eqnarray*}
+I(t=0) &=& \begin{pmatrix}
+\sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 2}^2 + x_{\alpha 3}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 2} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 3} \\
+-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 2} & \sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 3}^2 + x_{\alpha 1}^2) & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 2} x_{\alpha 3} \\
+-\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 1} x_{\alpha 3} & -\sum_\alpha m_\alpha x_{\alpha 2} x_{\alpha 3} & \sum_\alpha m_\alpha (x_{\alpha 1}^2 + x_{\alpha 2}^2)
+\end{pmatrix}\\
+&=& \begin{pmatrix}
+m(x_{12}^2 + x_{13}^2) + m(x_{22}^2 + x_{23}^2) & -mx_{11} x_{12}-mx_{21} x_{22} & -mx_{11} x_{13} - mx_{21}x_{23}\\
+-mx_{11} x_{12} - mx_{21}x_{22} & m(x_{13}^2+x_{11}^2) + m(x_{23}^2+x_{21}^2) & -mx_{12}x_{13} - mx_{22}x_{23}\\
+-mx_{11} x_{13} - mx_{21}x_{23} & -mx_{12}x_{13} - mx_{22}x_{23} & m(x_{11}^2+x_{12}^2) + m(x_{21}^2+x_{22}^2)
+\end{pmatrix}\\
+&=& \begin{pmatrix}
+ma^2 & 0 & 0\\
+& 2ma^2\cos^2\theta & 2ma^2 \sin\theta \cos\theta\\
+& 2ma^2\sin\theta\cos\theta & 2ma^2\sin^2\theta
+\end{pmatrix}.
+\end{eqnarray*}
+각운동량 벡터를 구해보자. $\vec{\omega} = (0,0,\omega)^\intercal$이므로
+$$\vec{L}(t=0) = I(t=0) \vec{\omega} = \begin{pmatrix}
+\\
+ma^2 \omega \sin\theta \cos\theta\\
+ma^2 \omega \sin\theta
+\end{pmatrix}$$
+처럼 구하거나, 혹은 두 질량의 현재 운동량이 $\vec{p}_1(t=0) = (-ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$과 $\vec{p}_2(t=0) = (ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$임을 이용해서 다음처럼 구한다:
+\begin{eqnarray*}
+\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i(t=0) \times \vec{p}_i(t=0) = \vec{r}_1(t=0) \times \vec{p}_1(t=0) + \vec{r}_2(t=0) \times \vec{p}_2(t=0)\\
+&=& \begin{vmatrix}
+\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
+& a\sin \theta & -a\cos\theta \\
+-ma\omega \sin\theta & 0 & 0
+\end{vmatrix}
++
+\begin{vmatrix}
+\hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
+& -a\sin \theta & a\cos\theta \\
+ma\omega \sin\theta & 0 & 0
+\end{vmatrix}
+= \begin{pmatrix}
+\\
+ma^2\omega \cos\theta \sin\theta\\
+ma^2 \omega\sin^2\theta
+\end{pmatrix}.
+\end{eqnarray*}
+회전행렬을 적어보면
+$$R(t) = \begin{pmatrix}
+\cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\
+\sin \omega t & \cos\omega t & 0\\
+& 0 & 1
+\end{pmatrix}$$
+이므로 임의의 시간 $t$에서는
+$$\vec{L}(t) = R(t) \vec{L}(t=0) = \begin{pmatrix}
+-2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
+ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
+ma^2 \omega \sin^2 \theta
+\end{pmatrix}$$
+일 것이다. 이 운동을 유지하는 데 필요한 돌림힘은 따라서
+$$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \begin{pmatrix}
+-2ma^2 \omega^2 \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
+-2ma^2 \omega^2 \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
+\end{pmatrix}$$
+이며, $\theta=0$이나 $\pi/2$에서는 영벡터가 되는데 이는 직관과 잘 부합한다.
+여기에서 $\vec{\omega}$가 일정하게 유지되고 있으므로 $d\vec{\omega}_B / dt = R^\intercal d\vec{\omega} /dt = 0$이다. $I_B = I(t=0)$가 대각행렬은 아니지만 시간변화가 없다는 성질은 유지되므로 $d\vec{L}_B/dt = I_B (d\vec{\omega}_B/dt) = 0$이다. 따라서 저 위에서 일반적인 벡터 $\vec{v}$에 대해 적었던 식을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \left(\frac{d}{dt} \vec{L}_B \right)_N + \vec{\omega} \times \vec{L} = \vec{\omega} \times \vec{L}.$$
+이는 $\vec{\tau} = \vec{\omega} \times \vec{L}$임을 의미하고 실제로 우리가 방금 구했던 결과와 일치한다.
 =====테니스 라켓 정리=====
 중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 $\vec{\tau}=0$이어서 좌변이 0이 되고 $\vec{\omega}_B$에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다:
@@ Line 156: / Line 230: @@
 따라서 위에서 계산된 $\vec{\omega}_B(t)$를 통해 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B(t)$를 구한 다음, $\vec{L}_B$를 $t=0$에서의 $\vec{L}$로 회전시키는 행렬 $R(t)$를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. $\omega_{I1}$이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다.
 {{ :물리:tennis_inertial_frame.png?500 |}}
+영화 Gravity(2013)에서 스톤 박사가 우주로 튕겨나갔을 때 중간축을 중심으로 안정되게 회전하는 묘사는 테니스 라켓 정리를 위배하는 것으로 보인다.
 ======코리올리 효과======
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 결국 다음처럼 쓸 수 있다:
-$$\ddot{\vec{X}} = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
+$$\vec{F}/m = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
 이 중에서 $\vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right]$는 원심가속도를 기술하고, $2 \vec{\omega} \times \vec{V}$가 코리올리 효과를 기술한다.