물리:비관성계

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물리:비관성계 [2024/06/29 12:52] – [두 번째 예] admin물리:비관성계 [2025/05/13 09:49] (current) – [회전 행렬] admin
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 -\omega_y & \omega_x & 0 -\omega_y & \omega_x & 0
 \end{pmatrix}.$$ \end{pmatrix}.$$
-만일 →ω≡(ωx,ωy,ωz)⊺→ω≡(ωx,ωy,ωz)⊺로 정의한다면 ˙→x(t)=Ω(t)→x(t)=ω(t)×→x(t)˙→x(t)=Ω(t)→x(t)=ω(t)×→x(t)임을 확인할 수 있으며, 여기에서 →ω(t)→ω(t)가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.+만일 →ω≡(ωx,ωy,ωz)⊺→ω≡(ωx,ωy,ωz)⊺로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \vec{\omega}(t) \times \vec{x}(t)임을확인할수있으며,여기에서임을확인할수있으며,여기에서\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
  
 ======오일러 운동방정식====== ======오일러 운동방정식======
Line 80: Line 80:
 \end{pmatrix}$$ \end{pmatrix}$$
 임에 유의하라. 임에 유의하라.
 +
 +=====비관성 좌표계로의 변환=====
 +
 +→v의 자리에 각운동량 벡터 →L을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 R⊺를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자.
 +\begin{eqnarray*}
 +R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\
 + &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\
 + &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\
 + &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\
 + &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B.
 +\end{eqnarray*}
 +여기에서 행렬의 좌표 변환 ΩB=R⊺ΩR을 사용했다. ΩB 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: Ω⊺B=(R⊺ΩR)⊺=R⊺Ω⊺R=−R⊺ΩR=−ΩB. 따라서 적절한 벡터 →ωB를 도입하여 ΩB→LB=→ωB×→LB로 고쳐 적었다. Ω=RΩBR⊺이므로 →ω=R→ωB이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 R을 적은 다음 RΩBR⊺의 성분과 R→ωB의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. →ωB=R⊺→ω가 __영벡터가 아님__에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 →ωB=0일 것이라고 생각하기 쉬운데, →ωB의 의미는 그것이 아니라 →ω를 R⊺로 좌표 변환한 것에 불과하다.
 +
 +비관성 좌표계 B가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면
 +$$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix}
 +I_{B1} & 0 & 0 \\
 +0 & I_{B2} & 0\\
 +0 & 0 & I_{B3}
 +\end{pmatrix}$$
 +로 대각화되며 시간에 대해 일정하다.
 +또 →v=→ω를 대입하면 다음을 얻는다:
 +\begin{eqnarray*}
 +\frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\
 +\frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}.
 +\end{eqnarray*}
 +이 양 역시 일반적으로 영이 아니다.  따라서 →LB=IB→ωB=(IB1ωB1,IB2ωB2,IB3ωB3)⊺이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다:
 +ddt→LB=IBddt→ωB.
 +
 +정리해서 적어보면 이렇다:
 +\begin{eqnarray*}
 +\begin{pmatrix}
 +\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\
 +\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\
 +\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3
 +\end{pmatrix}
 +&=& \begin{pmatrix}
 +I_{B1} & 0 & 0 \\
 +0 & I_{B2} & 0\\
 +0 & 0 & I_{B3}
 +\end{pmatrix}
 +\begin{pmatrix}
 +\frac{d}{dt} \omega_{B1} \\
 +\frac{d}{dt} \omega_{B2} \\
 +\frac{d}{dt} \omega_{B3}
 +\end{pmatrix}
 ++ \begin{pmatrix}
 +\omega_{B1} \\
 +\omega_{B2} \\
 +\omega_{B3}
 +\end{pmatrix}
 +\times
 +\begin{pmatrix}
 +I_{B1} \omega_{B1} \\
 +I_{B2} \omega_{B2} \\
 +I_{B3} \omega_{B3}
 +\end{pmatrix}\\
 +&=& \begin{pmatrix}
 +I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
 +I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
 +I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2}
 +\end{pmatrix}.
 +\end{eqnarray*}
 +이것이 오일러 운동방정식이다.
  
 =====두 번째 예===== =====두 번째 예=====
Line 105: Line 168:
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
-각속도 벡터를 구해보자. →ω=(0,0,ω)⊺이므로 +각운동량 벡터를 구해보자. →ω=(0,0,ω)⊺이므로 
-$$\vec{L}(t=0) = \vec{I} \vec{\omega} = \begin{pmatrix}+$$\vec{L}(t=0) = I(t=0) \vec{\omega} = \begin{pmatrix}
 0 \\ 0 \\
 2ma^2 \omega \sin\theta \cos\theta\\ 2ma^2 \omega \sin\theta \cos\theta\\
Line 113: Line 176:
 처럼 구하거나, 혹은 두 질량의 현재 운동량이 →p1(t=0)=(−maωsinθ,0,0)⊺과 →p2(t=0)=(maωsinθ,0,0)⊺임을 이용해서 다음처럼 구한다: 처럼 구하거나, 혹은 두 질량의 현재 운동량이 →p1(t=0)=(−maωsinθ,0,0)⊺과 →p2(t=0)=(maωsinθ,0,0)⊺임을 이용해서 다음처럼 구한다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \vec{r}_1 \times \vec{p}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{p}_2\\+\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i(t=0) \times \vec{p}_i(t=0) = \vec{r}_1(t=0) \times \vec{p}_1(t=0) + \vec{r}_2(t=0) \times \vec{p}_2(t=0)\\
 &=& \begin{vmatrix} &=& \begin{vmatrix}
 \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
Line 133: Line 196:
  
 회전행렬을 적어보면 회전행렬을 적어보면
-$$R = \begin{pmatrix}+$$R(t) = \begin{pmatrix}
 \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\ \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\
 \sin \omega t & \cos\omega t & 0\\ \sin \omega t & \cos\omega t & 0\\
Line 139: Line 202:
 \end{pmatrix}$$ \end{pmatrix}$$
 이므로 임의의 시간 t에서는 이므로 임의의 시간 t에서는
-$$\vec{L}(t) = R(t) L(t=0) = \begin{pmatrix}+$$\vec{L}(t) = R(t) \vec{L}(t=0) = \begin{pmatrix}
 -2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\ -2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
 2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\ 2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
Line 150: Line 213:
 0 0
 \end{pmatrix}$$ \end{pmatrix}$$
-이며, θ=0이나 π/2에서는 0이 되는데, 이는 직관과 부합한다. +이며, θ=0이나 π/2에서는 영벡터가 되는데 이는 직관과 잘 부합한다.
-=====비관성 좌표계로의 변환===== +
- +
-→v의 자리에 각운동량 벡터 →L을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 R⊺를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자. +
-\begin{eqnarray*} +
-R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\ +
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\ +
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\ +
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\ +
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B. +
-\end{eqnarray*} +
-여기에서 행렬의 좌표 변환 ΩB=R⊺ΩR을 사용했다. ΩB 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: Ω⊺B=(R⊺ΩR)⊺=R⊺Ω⊺R=−R⊺ΩR=−ΩB. 따라서 적절한 벡터 →ωB를 도입하여 ΩB→LB=→ωB×→LB로 고쳐 적었다. Ω=RΩBR⊺이므로 →ω=R→ωB이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 R을 적은 다음 RΩBR⊺의 성분과 R→ωB의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. →ωB=R⊺→ω가 영벡터가 아님에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 →ωB=0일 것이라고 생각하기 쉬운데, →ωB의 의미는 그것이 아니라 →ω를 R⊺로 좌표 변환한 것에 불과하다. +
- +
-비관성 좌표계 B가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면 +
-$$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix} +
-I_{B1} & 0 & 0 \\ +
-0 & I_{B2} & 0\\ +
-0 & 0 & I_{B3} +
-\end{pmatrix}$$ +
-로 대각화되며 시간에 대해 일정하다. +
-또 →v=→ω를 대입하면 다음을 얻는다: +
-\begin{eqnarray*} +
-\frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\ +
-\frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}. +
-\end{eqnarray*} +
-이 양 역시 일반적으로 영이 아니다.  따라서 →LB=IB→ωB=(IB1ωB1,IB2ωB2,IB3ωB3)⊺이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다: +
-ddt→LB=IBddt→ωB. +
- +
-정리해서 적어보면 이렇다: +
-\begin{eqnarray*} +
-\begin{pmatrix} +
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\ +
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\ +
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3 +
-\end{pmatrix} +
-&=& \begin{pmatrix} +
-I_{B1} & 0 & 0 \\ +
-0 & I_{B2} & 0\\ +
-0 & 0 & I_{B3} +
-\end{pmatrix} +
-\begin{pmatrix} +
-\frac{d}{dt} \omega_{B1} \\ +
-\frac{d}{dt} \omega_{B2} \\ +
-\frac{d}{dt} \omega_{B3} +
-\end{pmatrix} +
-+ \begin{pmatrix} +
-\omega_{B1} \\ +
-\omega_{B2} \\ +
-\omega_{B3} +
-\end{pmatrix} +
-\times +
-\begin{pmatrix} +
-I_{B1} \omega_{B1} \\ +
-I_{B2} \omega_{B2} \\ +
-I_{B3} \omega_{B3} +
-\end{pmatrix}\\ +
-&=& \begin{pmatrix} +
-I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\ +
-I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\ +
-I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2} +
-\end{pmatrix}. +
-\end{eqnarray*} +
-이것이 오일러 운동방정식이다.+
  
 +여기에서 →ω가 일정하게 유지되고 있으므로 d→ωB/dt=R⊺d→ω/dt=0이다. IB=I(t=0)가 대각행렬은 아니지만 시간변화가 없다는 성질은 유지되므로 d→LB/dt=IB(d→ωB/dt)=0이다. 따라서 저 위에서 일반적인 벡터 →v에 대해 적었던 식을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
 +d→Ldt=(ddt→LB)N+→ω×→L=→ω×→L.
 +이는 →τ=→ω×→L임을 의미하고 실제로 우리가 방금 구했던 결과와 일치한다.
 =====테니스 라켓 정리===== =====테니스 라켓 정리=====
 중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 →τ=0이어서 좌변이 0이 되고 →ωB에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다: 중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 →τ=0이어서 좌변이 0이 되고 →ωB에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다:
Line 226: Line 230:
 따라서 위에서 계산된 →ωB(t)를 통해 →LB=IB→ωB(t)를 구한 다음, →LB를 t=0에서의 →L로 회전시키는 행렬 R(t)를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 →ω(t)=R(t)→ωB(t)를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. ωI1이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다. 따라서 위에서 계산된 →ωB(t)를 통해 →LB=IB→ωB(t)를 구한 다음, →LB를 t=0에서의 →L로 회전시키는 행렬 R(t)를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 →ω(t)=R(t)→ωB(t)를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. ωI1이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다.
 {{ :물리:tennis_inertial_frame.png?500 |}} {{ :물리:tennis_inertial_frame.png?500 |}}
 +영화 Gravity(2013)에서 스톤 박사가 우주로 튕겨나갔을 때 중간축을 중심으로 안정되게 회전하는 묘사는 테니스 라켓 정리를 위배하는 것으로 보인다.
  
 ======코리올리 효과====== ======코리올리 효과======
Line 264: Line 268:
  
 결국 다음처럼 쓸 수 있다: 결국 다음처럼 쓸 수 있다:
-$$\ddot{\vec{X}} = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$+$$\vec{F}/m = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
 이 중에서 →ω×[→ω×→ξ]는 원심가속도를 기술하고, 2→ω×→V가 코리올리 효과를 기술한다. 이 중에서 →ω×[→ω×→ξ]는 원심가속도를 기술하고, 2→ω×→V가 코리올리 효과를 기술한다.
  
  • 물리/비관성계.1719633163.txt.gz
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