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--- 물리:비관성계 [2024/06/29 12:52] – [두 번째 예] admin
+++ 물리:비관성계 [2025/05/13 09:49] (current) – [회전 행렬] admin
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 -\omega_y & \omega_x & 0
 \end{pmatrix}.$$
-만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \omega(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
+만일 $\vec{\omega} \equiv (\omega_x, \omega_y, \omega_z)^\intercal$로 정의한다면 $\dot{\vec{x}}(t) = \Omega(t) \vec{x}(t) = \vec{\omega}(t) \times \vec{x}(t)$임을 확인할 수 있으며, 여기에서 $\vec{\omega}(t)$가 사실 각속도 벡터에 대응된다는 사실도 알 수 있다.
 ======오일러 운동방정식======
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 \end{pmatrix}$$
 임에 유의하라.
+=====비관성 좌표계로의 변환=====
+$\vec{v}$의 자리에 각운동량 벡터 $\vec{L}$을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 $R^\intercal$를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자.
+\begin{eqnarray*}
+R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\
+ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\
+ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\
+ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\
+ &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B.
+\end{eqnarray*}
+여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 __영벡터가 아님__에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.
+비관성 좌표계 $B$가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면
+$$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix}
+I_{B1} & 0 & 0 \\
+& I_{B2} & 0\\
+& 0 & I_{B3}
+\end{pmatrix}$$
+로 대각화되며 시간에 대해 일정하다.
+또 $\vec{v} = \vec{\omega}$를 대입하면 다음을 얻는다:
+\begin{eqnarray*}
+\frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\
+\frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}.
+\end{eqnarray*}
+이 양 역시 일반적으로 영이 아니다.  따라서 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B = (I_{B1} \omega_{B1}, I_{B2} \omega_{B2}, I_{B3} \omega_{B3})^\intercal$이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다:
+$$\frac{d}{dt} \vec{L}_B = I_B \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B.$$
+정리해서 적어보면 이렇다:
+\begin{eqnarray*}
+\begin{pmatrix}
+\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\
+\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\
+\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3
+\end{pmatrix}
+&=& \begin{pmatrix}
+I_{B1} & 0 & 0 \\
+& I_{B2} & 0\\
+& 0 & I_{B3}
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
+\frac{d}{dt} \omega_{B1} \\
+\frac{d}{dt} \omega_{B2} \\
+\frac{d}{dt} \omega_{B3}
+\end{pmatrix}
++ \begin{pmatrix}
+\omega_{B1} \\
+\omega_{B2} \\
+\omega_{B3}
+\end{pmatrix}
+\times
+\begin{pmatrix}
+I_{B1} \omega_{B1} \\
+I_{B2} \omega_{B2} \\
+I_{B3} \omega_{B3}
+\end{pmatrix}\\
+&=& \begin{pmatrix}
+I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
+I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
+I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2}
+\end{pmatrix}.
+\end{eqnarray*}
+이것이 오일러 운동방정식이다.
 =====두 번째 예=====
@@ Line 105: / Line 168: @@
 \end{eqnarray*}
-각속도 벡터를 구해보자. $\vec{\omega} = (0,0,\omega)^\intercal$이므로
+각운동량 벡터를 구해보자. $\vec{\omega} = (0,0,\omega)^\intercal$이므로
-$$\vec{L}(t=0) = \vec{I} \vec{\omega} = \begin{pmatrix}
+$$\vec{L}(t=0) = I(t=0) \vec{\omega} = \begin{pmatrix}
 \\
 ma^2 \omega \sin\theta \cos\theta\\
@@ Line 113: / Line 176: @@
 처럼 구하거나, 혹은 두 질량의 현재 운동량이 $\vec{p}_1(t=0) = (-ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$과 $\vec{p}_2(t=0) = (ma\omega \sin\theta, 0, 0)^\intercal$임을 이용해서 다음처럼 구한다:
 \begin{eqnarray*}
-\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i \times \vec{p}_i = \vec{r}_1 \times \vec{p}_1 + \vec{r}_2 \times \vec{p}_2\\
+\vec{L}(t=0) &=& \sum_i \vec{r}_i(t=0) \times \vec{p}_i(t=0) = \vec{r}_1(t=0) \times \vec{p}_1(t=0) + \vec{r}_2(t=0) \times \vec{p}_2(t=0)\\
 &=& \begin{vmatrix}
 \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\
@@ Line 133: / Line 196: @@
 회전행렬을 적어보면
-$$R = \begin{pmatrix}
+$$R(t) = \begin{pmatrix}
 \cos\omega t & -\sin\omega t & 0\\
 \sin \omega t & \cos\omega t & 0\\
@@ Line 139: / Line 202: @@
 \end{pmatrix}$$
 이므로 임의의 시간 $t$에서는
-$$\vec{L}(t) = R(t) L(t=0) = \begin{pmatrix}
+$$\vec{L}(t) = R(t) \vec{L}(t=0) = \begin{pmatrix}
 -2ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \sin\omega t\\
 ma^2 \omega \cos\theta \sin\theta \cos\omega t\\
@@ Line 150: / Line 213: @@
 \end{pmatrix}$$
-이며, $\theta=0$이나 $\pi/2$에서는 0이 되는데, 이는 직관과 부합한다.
+이며, $\theta=0$이나 $\pi/2$에서는 영벡터가 되는데 이는 직관과 잘 부합한다.
-=====비관성 좌표계로의 변환=====
-$\vec{v}$의 자리에 각운동량 벡터 $\vec{L}$을 집어넣고, 앞의 식에서 양변에 $R^\intercal$를 곱하여 비관성 좌표계에서의 기술로 바꾸자.
-\begin{eqnarray*}
-R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{L} = R^\intercal \vec{\tau} = \left( \vec{\tau} \right)_B &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} \vec{L}_B\\
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \dot{R} R^\intercal R \vec{L}_B\\
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + R^\intercal \Omega R \vec{L}_B\\
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \Omega_B \vec{L}_B\\
- &=& \frac{d}{dt} \vec{L}_B + \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B.
-\end{eqnarray*}
-여기에서 행렬의 좌표 변환 $\Omega_B = R^\intercal \Omega R$을 사용했다. $\Omega_B$ 역시 반대칭 행렬임은 쉽게 보일 수 있다: $\Omega_B^\intercal = (R^\intercal \Omega R)^\intercal = R^\intercal \Omega^\intercal R = - R^\intercal \Omega R = -\Omega_B$. 따라서 적절한 벡터 $\vec{\omega}_B$를 도입하여 $\Omega_B \vec{L}_B = \vec{\omega}_B \times \vec{L}_B$로 고쳐 적었다. $\Omega = R \Omega_B R^\intercal$이므로 $\vec{\omega} = R \vec{\omega}_B$이어야 한다. 이는 오일러 각을 사용해 임의의 3차원 회전 행렬 $R$을 적은 다음 $R \Omega_B R^\intercal$의 성분과 $R \vec{\omega}_B$의 성분을 비교함으로써 바로 보일 수 있다. $\vec{\omega}_B = R^\intercal \vec{\omega}$가 영벡터가 아님에 유의하라. 강체와 함께 회전하고 있으면 강체가 정지한 듯이 보일 테니까 언제나 $\vec{\omega}_B=0$일 것이라고 생각하기 쉬운데, $\vec{\omega}_B$의 의미는 그것이 아니라 $\vec{\omega}$를 $R^\intercal$로 좌표 변환한 것에 불과하다.
-비관성 좌표계 $B$가 물체의 주축 방향으로 정렬되어 있다면
-$$I_B = R^\intercal I R = \begin{pmatrix}
-I_{B1} & 0 & 0 \\
-& I_{B2} & 0\\
-& 0 & I_{B3}
-\end{pmatrix}$$
-로 대각화되며 시간에 대해 일정하다.
-또 $\vec{v} = \vec{\omega}$를 대입하면 다음을 얻는다:
-\begin{eqnarray*}
-\frac{d}{dt} \vec{\omega} &=& R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B + \vec{\omega} \times \vec{\omega} = R \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B\\
-\frac{d}{dt} \vec{\omega}_B &=& R^\intercal \frac{d}{dt} \vec{\omega}.
-\end{eqnarray*}
-이 양 역시 일반적으로 영이 아니다.  따라서 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B = (I_{B1} \omega_{B1}, I_{B2} \omega_{B2}, I_{B3} \omega_{B3})^\intercal$이고 그 시간 변화는 다음처럼 쓸 수 있다:
-$$\frac{d}{dt} \vec{L}_B = I_B \frac{d}{dt} \vec{\omega}_B.$$
-정리해서 적어보면 이렇다:
-\begin{eqnarray*}
-\begin{pmatrix}
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_1\\
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_2\\
-\left(R^\intercal \vec{\tau}\right)_3
-\end{pmatrix}
-&=& \begin{pmatrix}
-I_{B1} & 0 & 0 \\
-& I_{B2} & 0\\
-& 0 & I_{B3}
-\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}
-\frac{d}{dt} \omega_{B1} \\
-\frac{d}{dt} \omega_{B2} \\
-\frac{d}{dt} \omega_{B3}
-\end{pmatrix}
-+ \begin{pmatrix}
-\omega_{B1} \\
-\omega_{B2} \\
-\omega_{B3}
-\end{pmatrix}
-\times
-\begin{pmatrix}
-I_{B1} \omega_{B1} \\
-I_{B2} \omega_{B2} \\
-I_{B3} \omega_{B3}
-\end{pmatrix}\\
-&=& \begin{pmatrix}
-I_{B1} \frac{d}{dt} \omega_{B1} - (I_{B2} - I_{B3}) \omega_{B2} \omega_{B3}\\
-I_{B2} \frac{d}{dt} \omega_{B2} - (I_{B3} - I_{B1}) \omega_{B3} \omega_{B1}\\
-I_{B3} \frac{d}{dt} \omega_{B3} - (I_{B1} - I_{B2}) \omega_{B1} \omega_{B2}
-\end{pmatrix}.
-\end{eqnarray*}
-이것이 오일러 운동방정식이다.
+여기에서 $\vec{\omega}$가 일정하게 유지되고 있으므로 $d\vec{\omega}_B / dt = R^\intercal d\vec{\omega} /dt = 0$이다. $I_B = I(t=0)$가 대각행렬은 아니지만 시간변화가 없다는 성질은 유지되므로 $d\vec{L}_B/dt = I_B (d\vec{\omega}_B/dt) = 0$이다. 따라서 저 위에서 일반적인 벡터 $\vec{v}$에 대해 적었던 식을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \left(\frac{d}{dt} \vec{L}_B \right)_N + \vec{\omega} \times \vec{L} = \vec{\omega} \times \vec{L}.$$
+이는 $\vec{\tau} = \vec{\omega} \times \vec{L}$임을 의미하고 실제로 우리가 방금 구했던 결과와 일치한다.
 =====테니스 라켓 정리=====
 중간축 정리(intermediate-axis thorem) 또는 자니베코프 효과(Dzhanibekov effect)라고도 불린다. 돌림힘이 작용하지 않는 경우 오일러 운동방정식에서 $\vec{\tau}=0$이어서 좌변이 0이 되고 $\vec{\omega}_B$에 대한 운동방정식을 다음처럼 얻는다:
@@ Line 226: / Line 230: @@
 따라서 위에서 계산된 $\vec{\omega}_B(t)$를 통해 $\vec{L}_B = I_B \vec{\omega}_B(t)$를 구한 다음, $\vec{L}_B$를 $t=0$에서의 $\vec{L}$로 회전시키는 행렬 $R(t)$를 구한다. 이를 통해 관성계에서 본 각속도 벡터 $\vec{\omega}(t) = R(t) \vec{\omega}_B(t)$를 구하면 아래 그림처럼 얻어진다. $\omega_{I1}$이 보여주듯이 일정한 방향으로 주기적으로 뒤집힌다.
 {{ :물리:tennis_inertial_frame.png?500 |}}
+영화 Gravity(2013)에서 스톤 박사가 우주로 튕겨나갔을 때 중간축을 중심으로 안정되게 회전하는 묘사는 테니스 라켓 정리를 위배하는 것으로 보인다.
 ======코리올리 효과======
@@ Line 264: / Line 268: @@
 결국 다음처럼 쓸 수 있다:
-$$\ddot{\vec{X}} = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
+$$\vec{F}/m = \ddot{\vec{X}}_0 + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{\xi} + \vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right] + 2 \vec{\omega} \times \vec{V} + R \frac{d^2}{dt^2} \left(\vec{\xi}' \right).$$
 이 중에서 $\vec{\omega} \times \left[ \vec{\omega} \times \vec{\xi} \right]$는 원심가속도를 기술하고, $2 \vec{\omega} \times \vec{V}$가 코리올리 효과를 기술한다.