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--- 물리:세부_균형_detailed_balance [2024/11/06 10:41] – minwoo
+++ 물리:세부_균형_detailed_balance [2024/11/06 10:59] (current) – minwoo
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 반면, 여러 지역인 $s,s',s'', ..$ 고려하여 $s$로 부터 '다른 지역들로 나가는 교통량의 총 합'이 '다른 지역들로 부터 $s$를 향해 들어오는 교통량의 총 합'과 일치한다면
-그 경우에서도, 평균적으로 $s$에 존재하는 $400$대의 차량 수는 유지될 것이다. 다만, 이 때는 $s$와 $s'$과 같이 두 지역간의 교통량은 일치하지 않는다.
+그 경우에서도, 평균적으로 $s$에 존재하는 $400$대의 차량 수는 유지될 것이다. 다만, 이 때는 $s$와 $s'$과 같이 두 지역 간의 교통량은 일치하지 않는다.
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 ===== 평형과 비평형의 차이 =====
-마르코프 사슬(Markov chain)으로 기술되는 계가 평형 상태를 만족하여, 그에 해당하는 조건인 $p(s',t)w_{s,s'} = p(s,t)w_{s',s}$을 만족한다는 의미를 이해해보자.
+마르코프 사슬(Markov chain)으로 기술되는 계가 평형 상태를 만족하여, 그에 해당하는 조건인 $p(s',t)w_{s,s'} = p(s,t)w_{s',s}$을 만족한다는 것의 물리적인 의미를 이해해보자.
-우선, 이러한 경우는 '가역(reversible)'이라고 한다. Markov chain 상의 어떠한 두 상태 $s$와 $s'$을 보더라도 그들 사이의 확률 흐름이 일치하기 때문이다.
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+이러한 조건을 만족하는 경우는 '가역(reversible)'이라고 한다. Markov chain 상의 어떠한 두 상태 $s$와 $s'$을 보더라도 그들 사이의 확률 흐름이 일치하기 때문이다.
 (확률 이론에 따라, 이러한 성질을 가지면 그는 에르고딕(ergodic)함을 의미하기도 한다.)
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-해밀토니안(Hamiltonian)을 기술되는 계는 아래의 해밀턴 방정식을 따르게 된다.
+'가역'과 관련하여, 우리에게 익숙한 시간 가역 동역학(time-reversal dynamics)을 떠올려 보자.
+그는 아래의 해밀턴 방정식을 따르는 해밀토니안(Hamiltonian)을 기술되는 계다.
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 \frac{dp_i(t)}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial q_i(t)}.
 $$
-여기에서 $\mathcal{H}$이 계의 해밀토니안이다.
+여기에서 $\mathcal{H}$은 계의 해밀토니안이다.
-위의 방정식은 시간의 부호를 뒤집어도
+위의 방정식은 시간 $t$의 부호와 운동량 $p_i$의 부호를 동시에 뒤집어주어도 그대로 만족 된다.
+이를 통해, 해밀토니안으로 표현되는 볼츠만 분포를 따르는 평형 계와 가역 마르코프 체인과의 관계를 이해해볼 수 있다.
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+===== 비평형 계 =====
+위에서 살펴본 것과 같이, 어떤 계가 도달한 정상 상태에서 어느 두 상태 $s$, $s'$이든 단 한 쌍이라도 detailed balance를 만족하지 않는다면, 그는 해당 계가 비평형 정상 상태에 있음을 의미한다.
+즉, 정상 상태에서 해당 계의 비평형 상태의 여부를 논하기 위해서는 전체 상태 중에서 한 쌍의 상태라도 detailed balance를 만족하지 않음을 보이면 충분하다.
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+또한, 평형 계와 달리 이러한 비평형 계는 정상 상태 확률에 대해서 어떠한 '선험 분포(a priori distribution')가 존재하지 않는다는 점에서도 차이를 갖는다.
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+===== 참고 문헌 =====
+  * Nonequilibrium statistical physics, Roberto Livi and Paolo Politi, 2017.