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--- 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/11/09 11:47] – minwoo
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 격자와 같은 규칙적인 연결 구조(geometry)에 대해서 선형대수학의 개념으로 정의할 수 있었던 유클리드 차원은 주기성이 없는 연결 구조에 대해서 연속적인 차원으로 일반화될 수 있다.
-일례로, [[물리:프랙탈 차원]] $d_f$를 정의할 수 있으나, small-world의 특성을 갖는 연결 구조의 경우에는 이 차원의 값이 발산하는 경우가 많다. 프랙탈 차원의 일례로, 하우스 도르프 차원 $d_H$도 그러하다.
+일례로, [[물리:프랙탈 차원]] $d_f$를 정의할 수 있으나, small-world의 특성을 갖는 연결 구조의 경우에는 이 차원의 값이 보통 발산한다. 프랙탈 차원의 일례로, 하우스 도르프 차원 $d_H$도 그러하다.
 이러한 small-world한 연결 구조 또는 더 복잡한 네트워크의 구조에 대해서 유한한 값의 차원을 정의하기 위해서는 spectral dimension $d_s$로 차원을 옳게 일반화할 수 있다.
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-직관적으로, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 연결 구조를 보다 넓게 탐험할 수 있는 경우'는, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 국소적인 구조를 반복적으로 복귀함으로써 넓게 탐험하지 못하는 경우'에 비해서 차원이 높은 고차원의 연결구조일 것이다.
+직관적으로, '무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 연결 구조를 보다 넓게 탐험할 수 있는 경우'는,
+'무작위 행보자가 (동일한 시간 척도에 대해서) 국소적인 구조를 반복적으로 복귀함으로써 넓게 탐험하지 못하는 경우'에 비해서 (차원이 높은) 고차원의 연결 구조일 것이다.
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 Laplacian matrix의 고유값에 대해서는 아래의 식으로도 얻을 수 있음을, 라플라스 변환의 공식으로 이해할 수 있다.
-$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} quad (\lambda \ll 1)$$
+$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} \quad (\lambda \ll 1)$$
 따라서 고유값 분포를 얻고 그의 고유값이 작은 영역의 멱법칙 지수(power-law exponent)로 부터 spectral dimension을 얻을 수 있다.
-(연속적인 경우에 Laplacian의 고유값은 momentum $$k의 제곱에 해당됨을 떠올려보면 알 수 있듯이, low momentum의 영역으로 기술된다.)
+(연속적인 경우에 Laplacian의 고유값은 파수 $k$의 제곱에 해당됨을 떠올려보면 알 수 있듯이, low momentum의 영역으로 기술된다.)
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