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--- 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/12 13:49] – minwoo
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-일반적인 $d$차원 유클리드 공간을 고려하더라도, $r$을 제외한 나머지 $d-1$개의 좌표 축 변수에 대한 적분은 ($k$에 대해서는 상수인) solid angle을 주기 때문에
+일반적인 $d$차원 유클리드 공간을 고려하더라도, $r$을 제외한 나머지 $d-1$개의 좌표 축 변수에 대한 적분은 ($k$에 대해서는 상수인) solid angle만을 주기 때문에
-$d$차원 유클리드 공간에 대해서 우리는 다음을 이해할 수 있다.
+$d$차원 유클리드 공간에 대해서 다음의 결과를 이해할 수 있다.
 $$J(\mathbf{k}) \propto |\mathbf{k}|^{\sigma}.$$
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 푸리에 변환에 따라 이를 운동량 공간에 대한 적분으로 나타낸다면 아래와 같다.
-$$\tilde{V}_{\text{SR}} = \frac{1}{2} \int |\mathbf{k}|^2 |\tilde{\phi}(\mathbf{k}) |^2 \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d}.$$
+$$V_{\text{SR}} = \frac{1}{2} \int |\mathbf{k}|^2 |\tilde{\phi}(\mathbf{k}) |^2 \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d}.$$
 : 즉, 단거리 상호작용을 나타내는 라플라시안 (또는 그래디언트의 제곱) 항은 $|\mathbf{k}|^2$로서 장파장 극한에 기여한다.
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 ===== 장거리 가중치 그래프의 $d_s$ =====
+==== 이산 라플라시안의 고유값 ====
 위에서는 장거리 상호작용이 장파장 극한인 저에너지 극한(low momentum limit)에서 어떠한 기여를 하는지 살펴 보았다.
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 $$\\ $$
-이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, 고유값 방정식을 아래와 같이 작성하자. (각 $i$의 연결 차수(degree)는 $D_i=D_0$로서 상수인 그래프임을 유의하자.)
+이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, 고유값 방정식을 아래와 같이 작성하자. (각 $i$의 연결 차수(degree)는 $D_i=D_0$로서 상수인 그래프임에 유의하자.)
 $$
 \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\
-\to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} \\
+\to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \\
 =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}.
 $$
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 \lambda_\mathbf{k} &= D_0 - \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}\\
 &=\sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)- \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \\
-&= \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left[1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right].
+&= \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left\{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right\}.
 \end{align}
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 ==== 연속체 극한 (continuum limit) ====
-라플라시안의 고유값 $\lambda_\mathbf{k} = \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left[1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right]$에 연속체 극한을 취함으로써 적분 형태를 다음과 같이 얻을 수 있다.
+라플라시안의 고유값 $\lambda_\mathbf{k} = \sum_\mathbf{r} J(|\mathbf{r}|) \left\{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \right\}$에 연속체 극한을 취함으로써 다음과 같은 적분 형태의 표현식을 얻을 수 있다.
 $$
-\lambda(\mathbf{k})
+\lambda(\mathbf{k}) = \int \frac{1 - e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} }{r^{d+\sigma}} \ d^d\mathbf{r}.
 $$
+$d=1$의 경우에 위 적분의 실수부인 $\int \frac{1 - \cos{ \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} }{r^{d+\sigma}} \ d^d\mathbf{r}$를 계산하면 아래와 같은 결과를 얻는다.
+$$-\cos\left(\frac{\pi \sigma}{2}\right)\Gamma(-\sigma)|\mathbf{k}|^\sigma, \quad 0 < \sigma < 2.$$
+앞선 내용에서 장거리 상호작용 커널의 푸리에 변환을 계산할 때 고려한 것과 같이, $d$차원에 대해서 일반화함으로써 $\lambda(\mathbf{k}) \propto |\mathbf{k}|^\sigma$라는 결론을 얻는다.
+$$ \\ $$
+==== DOS와 $d_s$ ====
+위에서 얻은 라플라시안의 고유값에 대해, 그 고유값의 상태 밀도(Density of State)함수를 얻는다면 (고유값의 크기가 작은) 저에너지 영역에서 $d_s$의 표현식을 알아낼 수 있을 것이다.
+우선, $\lambda \sim |\mathbf{k}|^\sigma$로 부터 $|k| \sim \lambda ^{1/\sigma}$를 얻는다. 고유값이 $\lambda$이하인 상태의 개수를 $N(\lambda)$라고 하면, 그는 $k^d$로서 운동량 공간에서 구의 체적에 비례 하므로, 다음과 같이 주어진다.
+$$ N(\lambda) = \int \frac{d^d \mathbf{k}}{(2\pi)^d} = \int \frac{d \Omega_d}{(2\pi)^d} \int_0 ^\infty k^{d-1} dk.$$
+현재 적분은 $k=0$을 제외한 양의 운동량 영역에 해당하는 개수를 세는 계산과 같으므로, 절대값 기호의 문제를 벗어나서 $k \sim \lambda ^{1/\sigma}$라는 관계식을 이용할 수 있다.
+그러므로, $dk$는 $d\lambda$에 대해 다음의 관계식을 갖는다.
+$$dk = \frac{dk}{d\lambda} d\lambda = \frac{1}{\sigma} \lambda^{1/ \sigma -1} d\lambda.$$
+이러한 정보를 $N(\lambda)$의 표현식에 대입하면 다음과 같다.
+$$N(\lambda) = \int \frac{d \Omega_d}{(2\pi)^d} \int_0 ^\infty k^{d-1}\ dk = \int \frac{d \Omega_d}{(2\pi)^d} \frac{1}{\sigma} \lambda^{(d-1)/\sigma} \lambda^{1/\sigma - 1}\ d\lambda\\
+=\int \frac{d \Omega_d}{(2\pi)^d} \frac{1}{\sigma} \lambda^{d/\sigma-1} \ d\lambda \propto \int_0 ^\infty \lambda^{d/\sigma - 1}\ d\lambda. $$
+$$\\$$
+이때, 앞서 논한대로 $N(\lambda)$는 반지름이 $k$인 $d$차원 구의 내부에 존재하는 상태를 센 것이므로, 고유값의 분포인 DOS는 피적분함수와 동일함을 알 수 있다.
+$$\rho(\lambda) = \lambda^{d/\sigma-1} .$$
+따라서, 아래의 $d_s$에 대한 관계식으로 부터
+$$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/2-1} \quad (\lambda \ll 1),$$
+$d$차원 유클리드 공간에서 $1/ r^{d+\sigma}$의 가중치(weight)를 갖는 그래프의 스펙트럴 차원을 아래와 같이 얻을 수 있다.
+$$
+d_s = \bigg\{
+\begin{array}
+& 2d/\sigma \quad (0< \sigma < 2) \\
+ d \quad  \ \quad (\sigma \ge 2)
+\end{array}.
+$$
+===== $d_s$를 조절할 수 있는 경우 =====
+위에서 살펴본 것과 같이, $d$차원 유클리드 공간 또는 격자에서 장거리 상호작용 형태의 weight를 갖는 그래프는
+스펙트럴 차원 $d_s$를 $0 < \sigma < 2$의 영역에서 $d < d_s < \infty$의 구간 내의 값으로서 연속적으로 조절할 수 있는 대표적인 예다.
+$$\\ $$
+유클리드 격자 또는 전부 연결된 구조 외에, 복잡계 네트워크(complex network)에서도 $d_s$를 연속적으로 얻을 수 있는 네트워크 구조가 있으며, 자세한 모델은 아래 참고문헌의 1, 2번을 참고할 수 있다.
+유의할 점은, 각 랜덤 네트워크를 앙상블 평균 (ensemble average)한 결과가 위에서 살펴 보았던 weighted graph라고 하더라도
+각 랜덤 네트워크가 갖는 고유값 분포를 평균한 후 그로 부터 얻은 $d_s$는 $2d/\sigma$를 따라야 할 이유가 없다.
+$$ \\ $$
+즉, 확률적으로 연결되는 장거리 연결선(long range short cut)이 relevant한 영역에서, $d_s = (2-\eta)d/\sigma$라고 쓰면 일반적으로 $\eta$는 $N\to\infty$의 극한을 취해도 0이 아닌 값을 가질 수 있다.
+$$ \\ $$
+===== 참고 문헌 =====
+**1.** Phys. Rev. Res. 3, 023015 (2021).\\
+**2.** Nature Communications 15, 4207 (2024).\\
+**3.** Reviews of Modern Physics 95, 035002 (2023).\\