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| 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/12 15:49] – minwoo | 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/17 16:31] (current) – minwoo | ||
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| $$\\ $$ | $$\\ $$ | ||
| - | 이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, | + | 이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, |
| $$ | $$ | ||
| \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\ | \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\ | ||
| - | \to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} \\ | + | \to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \\ |
| =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}. | =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}. | ||
| $$ | $$ | ||
| Line 318: | Line 318: | ||
| 현재 적분은 $k=0$을 제외한 양의 운동량 영역에 해당하는 개수를 세는 계산과 같으므로, | 현재 적분은 $k=0$을 제외한 양의 운동량 영역에 해당하는 개수를 세는 계산과 같으므로, | ||
| - | 글머므로 $dk$는 $d\lambda$에 대해 다음의 관계식을 갖는다. | + | 그러므로, $dk$는 $d\lambda$에 대해 다음의 관계식을 갖는다. |
| $$dk = \frac{dk}{d\lambda} d\lambda = \frac{1}{\sigma} \lambda^{1/ \sigma -1} d\lambda.$$ | $$dk = \frac{dk}{d\lambda} d\lambda = \frac{1}{\sigma} \lambda^{1/ \sigma -1} d\lambda.$$ | ||
| Line 336: | Line 336: | ||
| $$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/ | $$\rho(\lambda) \sim \lambda^{d_s/ | ||
| - | $d$차원 유클리드 공간에서 $1/ | + | $d$차원 유클리드 공간에서 $1/ r^{d+\sigma}$의 가중치(weight)를 갖는 그래프의 스펙트럴 차원을 아래와 같이 얻을 수 있다. |
| $$ | $$ | ||
| Line 348: | Line 348: | ||
| ===== $d_s$를 조절할 수 있는 경우 ===== | ===== $d_s$를 조절할 수 있는 경우 ===== | ||
| - | 위에서 살펴본 것과 같이, $d$차원 유클리드 공간 또는 격자에서 장거리 상호작용 형태의 weight를 갖는 그래프는 스펙트럴 차원 $d_s$를 $0 < \sigma < 2$의 영역에서 $d < d_s < \infty$의 구간 내의 값으로서 연속적으로 조절할 수 있는 대표적인 예다. | + | 위에서 살펴본 것과 같이, $d$차원 유클리드 공간 또는 격자에서 장거리 상호작용 형태의 weight를 갖는 그래프는 |
| + | |||
| + | 스펙트럴 차원 $d_s$를 $0 < \sigma < 2$의 영역에서 $d < d_s < \infty$의 구간 내의 값으로서 연속적으로 조절할 수 있는 대표적인 예다. | ||
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| - | 유클리드 격자 또는 전부 연결된 구조 외에, 복잡계 네트워크(complex network)에서도 $d_s$를 연속적으로 얻을 수 있는 네트워크 구조가 있으며, 아래 참고문헌 1, 2번을 참고하도록 하자. | + | 유클리드 격자 또는 전부 연결된 구조 외에, 복잡계 네트워크(complex network)에서도 $d_s$를 연속적으로 얻을 수 있는 네트워크 구조가 있으며, |
| - | 유의할 점은, 각 랜덤 네트워크를 앙상블 평균 (ensemble average)한 결과가 위에서 살펴 보았던 weighted graph라고 하더라도, | + | 유의할 점은, 각 랜덤 네트워크를 앙상블 평균 (ensemble average)한 결과가 위에서 살펴 보았던 weighted graph라고 하더라도 |
| 각 랜덤 네트워크가 갖는 고유값 분포를 평균한 후 그로 부터 얻은 $d_s$는 $2d/ | 각 랜덤 네트워크가 갖는 고유값 분포를 평균한 후 그로 부터 얻은 $d_s$는 $2d/ | ||