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| 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/12 15:55] – minwoo | 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/17 16:31] (current) – minwoo | ||
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| $$\\ $$ | $$\\ $$ | ||
| - | 이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, | + | 이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, |
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| \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\ | \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\ | ||
| - | \to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} \\ | + | \to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \\ |
| =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}. | =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}. | ||
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| 현재 적분은 $k=0$을 제외한 양의 운동량 영역에 해당하는 개수를 세는 계산과 같으므로, | 현재 적분은 $k=0$을 제외한 양의 운동량 영역에 해당하는 개수를 세는 계산과 같으므로, | ||
| - | 글머므로 $dk$는 $d\lambda$에 대해 다음의 관계식을 갖는다. | + | 그러므로, $dk$는 $d\lambda$에 대해 다음의 관계식을 갖는다. |
| $$dk = \frac{dk}{d\lambda} d\lambda = \frac{1}{\sigma} \lambda^{1/ \sigma -1} d\lambda.$$ | $$dk = \frac{dk}{d\lambda} d\lambda = \frac{1}{\sigma} \lambda^{1/ \sigma -1} d\lambda.$$ | ||