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--- 물리:스펙트럴_차원_spectral_dimension [2025/12/12 16:14] – minwoo
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 $$ J(\mathbf{k}) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cos\left(\frac{\pi \sigma}{2}\right) \Gamma\left(-\sigma\right) |\mathbf{k}|^{\sigma}.$$
+(이 거동이 장파장 극한에서 문제 없이 잘 맞다는 것은, 이산 푸리에변환을 포함한 몇 단계의 수학적 논리에 따라서 설명할 수 있다.
+다만 운동량 공간의 범위 제한이 없는 경우에서는 유한한 격자 상수 a에 의존하는 UV-cutoff를 고려해야 하므로 주의해야 한다.)
 즉, 원래의 상호작용 커널(kernel)이 $\mathbf{|r|}=\mathbf{|x-x'|}$에만 의존할 때, 그 푸리에 변환 결과는 $|\mathbf{k}|^{\sigma}$에 비례한다.
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 $$\\ $$
-이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, 고유값 방정식을 아래와 같이 작성하자. (각 $i$의 연결 차수(degree)는 $D_i=D_0$로서 상수인 그래프임을 유의하자.)
+이때, 라플라시안 행렬 $L$의 각 성분은 $L_{ij}=D_{ii} - A_{ij}= D_0\delta_{ij}-A_{ij}$로 주어지므로, 고유값 방정식을 아래와 같이 작성하자. (각 $i$의 연결 차수(degree)는 $D_i=D_0$로서 상수인 그래프임에 유의하자.)
 $$
 \sum_j L_{ij} v^k_j = \lambda_\mathbf{k} v_i\\
-\to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} \\
+\to \sum_j (D_0\delta_{ij}-A_{ij}) e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j} = \lambda_\mathbf{k} e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \\
 =D_0 e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} -\sum_j J(|\mathbf{r}_i -\mathbf{r}_j|)e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_j}.
 $$