물리:아인슈타인_모형

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 라는 것을 확인 할 수 있다. 라는 것을 확인 할 수 있다.
  
-====== 다른 방법으로 유도 ====== +====== 통계역학적 접근에 따른 될롱-프티 법칙 유도 ====== 
-이번에는 아인슈타인 모형에서 아인슈타인 온도보다 높은 고온에서 될롱-프티 법칙을 따라가는 것을 생각해보자. 여기서는 열원과 공간이 연결된 계에서, 공간의 입자가 줄어들어 열원으로 돌아가는 에너지 $\mu$를 고려할 것이다. 그리고 이 에너지 $\mu$는 조절할 수 있는 양이라고 하자. 따라서 입자 하나당의 에너지는 $\epsilon - \mu$가 될 것이고, 전체 입자의 에너지는 +이번에는 아인슈타인 모형에서 아인슈타인 온도보다 높은 고온에서 될롱-프티 법칙을 따라가는 것을 생각해보자. 여기서는 열원과 3차원 공간 상자가 연결된 계에서, 상자의 입자가 줄어들어 열원으로 돌아가는 에너지 $\mu$를 고려할 것이다. 그리고 이 에너지 $\mu$는 조절할 수 있는 양이라고 하자. 따라서 입자 하나당의 에너지는 $\epsilon - \mu$가 될 것이고, 전체 입자의 에너지는 
 $$ $$
 E = \sum_an_a(\epsilon_a - \mu) = N\sum_a(\epsilon_a - \mu) E = \sum_an_a(\epsilon_a - \mu) = N\sum_a(\epsilon_a - \mu)
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     g = \frac{1}{\beta}\sum_i\ln(1-e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)})     g = \frac{1}{\beta}\sum_i\ln(1-e^{-\beta(\epsilon_i-\mu)})
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-이제 3차원 공간 박스안에 입자들이 자유롭게 움직인다고 생각해보자. 3차원 운동량 미소 공간 $d^3k$에서 특정 운동량을 가지는 모드의 수는+이제 3차원 공간 상자 안에 입자들이 자유롭게 움직인다고 생각해보자. 3차원 운동량 미소 공간 $d^3k$에서 특정 운동량을 가지는 모드의 수는
 $s(d^3p/(2\pi\hbar)^3)V$인데, 여기서 V는 부피이고, s는 가능한 스핀의 상태수이다. 한편 에너지는 $s(d^3p/(2\pi\hbar)^3)V$인데, 여기서 V는 부피이고, s는 가능한 스핀의 상태수이다. 한편 에너지는
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 \begin{align} \begin{align}
     \rho &= s\int_0^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha}{1-e^{-x^2}\alpha}\left[\frac{x^2}{2\pi^2\hbar^3}(\frac{2m}{\beta})^{3/2}\right]dx \\     \rho &= s\int_0^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha}{1-e^{-x^2}\alpha}\left[\frac{x^2}{2\pi^2\hbar^3}(\frac{2m}{\beta})^{3/2}\right]dx \\
-    &= s\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi^2\hbar^3}(\frac{2m}{\beta})^{3/2}\int_{\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha{x^2}}{1-e^{-x^2}\alpha}dx+    &= s\frac{1}{2}\frac{1}{2\pi^2\hbar^3}(\frac{2m}{\beta})^{3/2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha{x^2}}{1-e^{-x^2}\alpha}dx
 \end{align} \end{align}
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Line 142: Line 142:
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 \begin{align} \begin{align}
-    \int_{\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha{x^2}}{1-e^{-x^2}\alpha}dx &= \int{x^2(\alpha{e^{-x^2}}dx + \alpha^2{e^{-2x^2}}dx + \cdots)} \\+    \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-x^2}\alpha{x^2}}{1-e^{-x^2}\alpha}dx &= \int{x^2(\alpha{e^{-x^2}}dx + \alpha^2{e^{-2x^2}}dx + \cdots)} \\
     &= \alpha + \frac{\alpha^2}{2^{3/2}} + \frac{\alpha^3}{3^{3/2}} + \cdots \\     &= \alpha + \frac{\alpha^2}{2^{3/2}} + \frac{\alpha^3}{3^{3/2}} + \cdots \\
     &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha^n}{n^{3/2}}     &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha^n}{n^{3/2}}
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 이므로 밀도가 다음과 같이 결정된다. 이므로 밀도가 다음과 같이 결정된다.
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-\rho = s(\frac{mk_{\beta}T}{2\pi{h^2}})^{3/2}\zeta_{3/2}(\alpha)+\rho = s\left(\frac{mk_{\beta}T}{2\pi{h^2}}\right)^{3/2}\zeta_{3/2}(\alpha)
 $$ $$
 이제 계의 전체 에너지를 계산해보도록 하자. 전체 에너지 U는 이제 계의 전체 에너지를 계산해보도록 하자. 전체 에너지 U는
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