물리:열역학_퍼텐셜

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물리:열역학_퍼텐셜 [2025/10/30 17:13] – [헬름홀츠 자유 에너지] admin물리:열역학_퍼텐셜 [2025/10/30 17:18] (current) – admin
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 \mu &=& \left( \frac{\partial U}{\partial N} \right)_{S,V} = U \left( \frac{5}{3N} - \frac{2S}{3N^2 k_B} \right) = k_B T \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{h^2}{2\pi m k_B T} \right)^{3/2} \right] \mu &=& \left( \frac{\partial U}{\partial N} \right)_{S,V} = U \left( \frac{5}{3N} - \frac{2S}{3N^2 k_B} \right) = k_B T \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{h^2}{2\pi m k_B T} \right)^{3/2} \right]
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-이고, 바로 $U = \frac{3}{2} Nk_B T$와 $pV=Nk_B T$를 확인할 수 있다. 즉 $U(S,V,N)$은 열평형 상태에서 [[물리:상태 방정식]] 등 계에 대한 완전한 정보를 담고 있으며, 이러한 함수를 [[물리:열역학 퍼텐셜]]이라고 부른다.+이고, 바로 $U = \frac{3}{2} Nk_B T$와 $pV=Nk_B T$를 확인할 수 있다. 즉 $U(S,V,N)$은 열평형 상태에서 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]] 등 계에 대한 완전한 정보를 담고 있으며, 이러한 함수를 [[물리:열역학 퍼텐셜]]이라고 부른다.
  
 =====엔트로피를 중심으로===== =====엔트로피를 중심으로=====
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 =====다른 좌표에서 적을 경우===== =====다른 좌표에서 적을 경우=====
-[[수학:르장드르_변환|르장드르 변환]]을 따르지 않고 변수를 바꿀 경우 상태방정식을 유도해내지 못하는 문제가 생길 수 있다. Hardy & Binek이 설명한 대로, 만일 $U$를 $U(T,V)$로 적었다고 해보자. 이때 얻을 수 있는 [[수학:편미분|편미분]]의 식들은 다음과 같다 (위에서 $U(S,V)$로 적었을 때와 비교할 것).+[[수학:르장드르_변환|르장드르 변환]]을 따르지 않고 변수를 바꿀 경우 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]]을 유도해내지 못하는 문제가 생길 수 있다. Hardy & Binek이 설명한 대로, 만일 $U$를 $U(T,V)$로 적었다고 해보자. 이때 얻을 수 있는 [[수학:편미분|편미분]]의 식들은 다음과 같다 (위에서 $U(S,V)$로 적었을 때와 비교할 것).
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V &=& C_V\\ \left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)_V &=& C_V\\
 \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &=& T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P. \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T &=& T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V - P.
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-첫 번째 식은 상태방정식에 대해 특별히 말해주는 바가 없으니 무시하자.+첫 번째 식은 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]]에 대해 특별히 말해주는 바가 없으니 무시하자.
 두 번째 식은 [[수학:편미분|편미분의 응용]]에서 '변수 바꿔 적기'의 첫 번째 결과물인 다음 식으로부터 유도할 수 있다. 두 번째 식은 [[수학:편미분|편미분의 응용]]에서 '변수 바꿔 적기'의 첫 번째 결과물인 다음 식으로부터 유도할 수 있다.
 \[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \] \[ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_z = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z \]
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 이상기체의 경우 $U$는 $T$에 의해서만 결정되므로 $\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = 0$이다. 그러므로 아래 방정식을 얻는데 이상기체의 경우 $U$는 $T$에 의해서만 결정되므로 $\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = 0$이다. 그러므로 아래 방정식을 얻는데
 \[ P = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V, \] \[ P = T \left( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_V, \]
-임의의 함수 $f$에 대해 $P = T \times f(V)$ 꼴로 주어지기만 하면 모두 이 방정식의 해가 된다. 따라서 $U(S,V)$의 [[수학:편미분]] 식들이 상태방정식을 결정했던 것과 대조적으로 $U(T,V)$로는 상태방정식을 결정하지 못한다. [[수학:르장드르_변환|르장드르 변환]]으로 변수를 변환한 헬름홀츠 자유에너지 $F(T,V)$로는 다시 상태방정식을 얻는 일이 가능하다.+임의의 함수 $f$에 대해 $P = T \times f(V)$ 꼴로 주어지기만 하면 모두 이 방정식의 해가 된다. 따라서 $U(S,V)$의 [[수학:편미분]] 식들이 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]]을 결정했던 것과 대조적으로 $U(T,V)$로는 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]]을 결정하지 못한다. [[수학:르장드르_변환|르장드르 변환]]으로 변수를 변환한 헬름홀츠 자유에너지 $F(T,V)$로는 다시 [[물리:상태_방정식|상태 방정식]]을 얻는 일이 가능하다.
  
  
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 [[물리:분배함수]] $Z(T,V,N)$과는 $Z = e^{-\beta F}$, 혹은 다른 말로 $F = -k_B T \ln Z$의 관계가 있다. 이 때 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$. [[물리:분배함수]] $Z(T,V,N)$과는 $Z = e^{-\beta F}$, 혹은 다른 말로 $F = -k_B T \ln Z$의 관계가 있다. 이 때 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$.
  
 +====평형을 향하여====
 Schroeder의 설명 방식에 따르면 다음처럼 이해할 수도 있다. 열저장고와 접촉 중인 계에서, 열저장고까지 모두 포함하는 전체의 엔트로피 변화는 Schroeder의 설명 방식에 따르면 다음처럼 이해할 수도 있다. 열저장고와 접촉 중인 계에서, 열저장고까지 모두 포함하는 전체의 엔트로피 변화는
 \[ dS_\text{tot} = dS + dS_R \] \[ dS_\text{tot} = dS + dS_R \]
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