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--- 물리:요르단-위그너_변환_jordan-wigner_transformation [2024/09/08 18:51] – minwoo
+++ 물리:요르단-위그너_변환_jordan-wigner_transformation [2024/09/10 12:58] (current) – minwoo
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 처음에 언급한 1차원 양자 스핀 모형인 '가로장이 걸려있는 XY 스핀 사슬 (XY spin chain in a transverse field)'에 요르단-위그너 변환을 적용해보도록 하자.
-우선, 기존의 Hamiltonian은 다음과 같다.
+우선, 기존의 해밀토니안은 다음과 같다.
 $$
 \hat{H} =  \sum_{i=1}^N g_i \hat{\sigma}^z_i - \sum_{i=1}^N (J_x \hat{\sigma}^x_{i} \hat{\sigma}^x_{i+1} + J_y \hat{\sigma}^y_{i}\hat{\sigma}^y_{i+1}).
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 $\\$
-따라서, Hamiltonian은 다음과 같이 쓰여진다.
+따라서, 해밀토니안은 다음과 같이 쓰여진다.
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 즉, 앞서 본 Majorana fermion의 표현식이 실제로 원래의 식을 준다는 것을 확인하였다.
-$\\$
-==== Heisenberg equations ====
-앞서 살펴 본 아래 Hamiltonian에 대하여 하이젠베르크 방정식(Heisenberg equations)을 유도해보자.
-$$
-\hat{H}(t) = i \sum_{j=1}^N g_j(t)\hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j}
-+i\sum_{j=1}^{N-1}(J_x \hat{a}_{2j}\hat{a}_{2j+1}
--J_y \hat{a}_{2j-1}\hat{a}_{2j+2}).
-$$
-여기서 $[A,B]=\{A,B\}-2BA $를 참고하면, Majorana fermion 연산자에 대한 하이젠 베르크 방정식은 다음과 같다.
-$$
-\frac{\hat{a}_{2j-1}}{dt} = i \left[\hat{H}, \hat{a}_{2j-1} \right] = i\left\{\hat{H}, \hat{a}_{2j-1} \right\}-2\hat{a}_{2j-1}\hat{H}, \\
-\frac{\hat{a}_{2j}}{dt} = i \left[\hat{H}, \hat{a}_{2j} \right] = i\left\{\hat{H}, \hat{a}_{2j} \right\}-2\hat{a}_{2j}\hat{H}.
-$$
-이를 풀이하기 위해 $\{a_m, a_n^\dagger \} = \{a_m, a_n \}=\delta_{mn}$을 이용하고, 동시에 아래의 항등식을 이용하자:
-$$
-[AB,CD]=-AC\{D,B\} + A\{C,B\}D - C\{D,A\}B + \{C,A\}DB.
-$$