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물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/10/06 12:44] – minwoo | 물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/11/15 17:03] (current) – minwoo | ||
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====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ====== | ====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ====== | ||
- | Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. | + | Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. |
- | 실선에 해당하는 것이 kagome 격자 구조이며, | + | {{:물리:kagome.png?300|}} |
- | + | ||
- | {{:물리:kagome_lattice.png?300|}} | + | |
이러한 Kagome 격자에서, | 이러한 Kagome 격자에서, | ||
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다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. | 다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. | ||
- | Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. (참고문헌 2의 그림 2.(B), | + | Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. ($\gamma-1$개의 삼각형을 각 노드에 붙이는 방식으로 구성되며, |
- | {{:물리:husimi_tree.png?300|}} | + | {{:물리:husimi.png?300|}} |
- | $$ \\ $$ | ||
우선, Husimi tree 구조에서의 ' | 우선, Husimi tree 구조에서의 ' | ||
Line 45: | Line 42: | ||
이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | ||
- | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} $$ | + | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma} $$ |
따라서, | 따라서, | ||
$$ | $$ | ||
- | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} | + | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{\gamma} |
$$ | $$ | ||
로 쓸 수 있다. | 로 쓸 수 있다. | ||
Line 66: | Line 63: | ||
$$ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}}{Z} \\ | + | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma}}{Z} \\ |
- | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\ |
- | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ -g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ +g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ -g_n(-)^{\gamma}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ +g_n(-)^{\gamma}} \\ |
- | &= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} | + | &= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} |
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
Line 180: | Line 177: | ||
이를 통해, $$ | 이를 통해, $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} | + | \langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} |
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ |