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--- 물리:이징_사슬 [2017/05/15 20:44] – [1차원 이징 사슬] minjae
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  $Z_{c}=\underset{\{a_{i}\}}{\mathrm{Tr}}e^{H}=\sum\limits_{\{\sigma_{i}\}=\pm1}\exp\left\{\sum\limits_{i=1}^{N}\left[K\sigma_{i}\sigma_{i+1}+\frac{h}{2}(\sigma_{i}+\sigma_{i+1})\right]\right\}$
 로 쓰이고, 자유도에 대한 합은
-$$\sum\splits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}=\sum\splits_{{\sigma_{2}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{4}}=\pm1}\cdots\sum\splits_{{\sigma_{N}}=\pm1}\left[\sum\splits_{{\sigma_{1}}=\pm1}\sum\splits_{{\sigma_{3}}=\pm1}
+$$\sum_{\{{\sigma_{i}\}}=\pm1}e^{H}=\sum_{{\sigma_{2}}=\pm1}\sum_{{\sigma_{4}}=\pm1}\cdots\sum_{{\sigma_{N}}=\pm1}\left[\sum_{{\sigma_{1}}=\pm1}\sum_{{\sigma_{3}}=\pm1}
-\cdots\sum\splits_{{\sigma_{N-1}}=\pm1}e^{H}\right]$$
+\cdots\sum_{{\sigma_{N-1}}=\pm1}e^{H}\right]$$
 로 나타낼 수 있다.  $H$ 에서  $\sigma_{1}$ 을 포함하는 항을 보기 위해  $i=1$ 인 경우와  $i=N$ 인 경우를 더해보면
  $K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})$ 이 되고 여기서  $\sigma_{1}$ 이 포함된 항에 대해서만 생각해보자.
  $\sigma_{1}$ 의 가능한 모든 값을 합하면
-$$\sum\limits_{\sigma_{1}=\pm1}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}}=2\cosh\left[K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h}\right]$$
+$$\sum_{\sigma_1=\pm1}e^{K\sigma_1(\sigma_N+\sigma_2)+h\sigma_1} = 2\cosh\left[K(\sigma_N+\sigma_2)+h\right]$$
 이 된다.  $\sigma^{2n}=1,\,\sigma^{2n+1}=\sigma$ 임을 이용하여 식을 좀 더 정리해보면
-\begin{equation}\notag
+\begin{align*}
-\sum\limits_{\sigma_{1}\pm1}}e^{K\sigma_{1}(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\sigma_{1}+\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}=2e^{\frac{h}{2}(\sigma_{N}+\sigma_{2})}\cosh\left[K(\sigma_{N}+\sigma_{2})+h\right]
+\sum_{\sigma_1=\pm1}e^{K\sigma_1(\sigma_N+\sigma_2)+h\sigma_1+h(\sigma_N+\sigma_2)/2} &= 2e^{h(\sigma_N+\sigma_2)/2}\cosh\left[K(\sigma_N+\sigma_2)+h\right]\\
+&= \exp\left\{2g + K^\prime\sigma_N\sigma_2 + \frac{1}{2}h^\prime(\sigma_N+\sigma_2)\right\}
 \label{renorm}
-\end{equation}
+\end{align*}
 로 나타낼 수 있다. 여기서
  $K^{\prime}=\frac{1}{4}\ln\frac{\cosh(2K+h)\cosh(2K-h)}{\cosh^{2}h},$
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 이다.  $\sigma_{3},\sigma_{5},\ldots,\sigma_{N-1}$ 이 각각 위와 같은 결과를 가지므로
 \begin{equation}\notag
-\sum\limits_{\sigma_{1},\sigma_{3},\ldots,\sigma_{N-1}}e^{H}=\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\}
+\sum\limits_{\sigma_{1},\sigma_{3},\ldots,\sigma_{N-1}}e^{H}=\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}}\right\}
 \end{equation}
-을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm1}e^{H}$에 대입하면
+을 얻게 된다. 이 결과를 $\sum_\limits{\{\sigma_i\}=\pm1}e^{H}$에 대입하면
 \begin{equation}\notag
-\sum\limits_{{\sigma_{i}}=\pm}e^{H}=\sum\limits_{\sigma_{2}=\pm1}\sum\limits_{\sigma_{4}=\pm1}\cdots\sum\limits_{\sigma_{N}=\pm1}\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sumlimits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\right\}
+\sum_{\{\sigma_i\}=\pm1}e^H=\sum_{\sigma_2=\pm1}\sum_{\sigma_4=\pm1}\cdots\sum_{\sigma_N=\pm1}\exp\left\{{Ng(K,h)+K^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}\sigma_{2i+2}+h^{\prime}\sum\limits_{i}\sigma_{2i}}\right\}
 \end{equation}
 이 된다. 결과식의 형태를 보면 짝수번째 스핀에 대한 합이 분배함수  $Z_{c}$ 와 닮은 형태를 가지는 것을 알 수 있다. 이것은 처음의 물리계가 짝수번째 스핀들이 자기장  $h^{\prime}$  속에서 결합계수  $K^{\prime}$ 로 가장 가까이 있는 스핀들과 상호작용하는 물리계로 치환될 수 있음을 보여준다. 그러므로 처음의 분배함수는
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  $\frac{\partial h^{\prime}}{\partial h}>1$
 이 된다는 것을 확인할 수 있다. 결론적으로 재규격화 과정이 진행될수록 처음의 물리계는  $K$ 의 값은 점점 작아져  $K=0$ 에 가까워지고  $h$ 의 값은 점점 더 커지는 물리계로 치환된다고 할 수 있다.
+ $\\$   $\\$   $\\$
+앞서 설명된 '재규격화'는 크게 2가지의 과정으로 나뉘는데,
+하나는 coarse graining 과정, 다른 하나는 rescaling 이다.
+coarse graining은 '대충 갈기' 또는 '대충 뽑기' 라고 번역할 수 있는데, 이러한 의미를 잘 이해하기 위해
+아래의 '블록 스핀 (block spin)'에 대한 설명을 보자.
+====== 블록 스핀 (Block spin) ======
+아래의 그림 중 왼쪽은, 어느 특정 시점에서 10x10개의 2차원 이징 모형 스핀 배열의 원본이고,
+오른쪽 그림은 그러한 왼쪽의 배열을 '블록 스핀'의 개념을 이용하여 수행한 변환을 표현한 것이다.
+(이해를 돕기 위해 그림판을 이용하여 간단히 그려보았다. 실제로는 랜덤하게 그린 것은 아니다.)
+{{::물리::블록스핀.png?550|}}
+블록 스핀이란, 여러 스핀들을 묶어서 하나의 스핀으로 대체하여 본 스핀을 말한다.
+즉, 위의 경우는 아래의 방식으로, 2x2 정사각형 안에 들어있는 스핀들을 하나로 묶은 후
+{{::물리::decimation.png?250|}}
+그 2x2 정사각형 내의 왼쪽 아래에 위치한 스핀의 부호를 택하여, 나머지 3개의 스핀까지 같은 스핀으로 둔 방식이다.
+이러한 방식을 'decimation'이라고 한다. 특정한 같은 방식으로 한 개의 스핀 부호를 택하고 나머지 스핀들의 정보는 '지우는' 방법이기 때문이다.
+다른 변환 방식으로는 'majority rule'이 있다. 한 블록 스핀 내에서 '다수'의 스핀이 향하는 방향(부호)를 블록 스핀의 부호로 택하는 방법이다.
+그래서 이러한 과정을 coasre graining이라고 부르는데, 기존 스핀들의 정보가 보다 '대충' 갈아졌기 때문(연마) 으로 이해할 수 있다.
+ $\\$   $\\$  같은 방식으로 128x128개의 스핀 배열을 예로 들어, 아래의 그림들로 보다 명확히 살펴볼 수 있다.
+(각각 '초기의 스핀배열의 원본 (앞쪽 첫번째), 블록 스핀 (앞쪽 두번째)' , '100 MC steps가 지난 상태의 원본 (뒤쪽 첫번째), 블록 스핀 (뒤쪽 두번째)') $\\$
+{{::물리::128x128_initial_original_.png?300|}}   {{::물리::128x128_initial_deci_.png?300|}}
+ $\\$   $\\$   $\\$   $\\$
+{{::물리::128x128_original_100_mc_steps_.png?300|}}   {{::물리::128x128_deci_100_mc_steps_.png?300|}}
+( $\beta=0.5$  로 설정하였고, 편의상  $J$ =1 로 두었다.)
+위에서 설명한 decimation의 방식을 택하여 시뮬레이션을 수행해 보기 위해, 아래의 C++ 코드를 이용할 수 있으며,
+[[물리:자발적_대칭_깨짐_spontaneous_symmetry_breaking|자발적 대칭 깨짐(spontaneous symmetry breaking)]]에서 수행한 기존의 코드에서 decimation을 이용하는 부분만 추가해주었다.
+(spin : 스핀 배열 원본, deci : decimation을 적용시킨 블록 스핀 배열)
+<code C++>
+#include <iostream>
+#include <cstdlib>
+#include <cmath>
+#include <random>
+#include <vector>
+using namespace std;
+int main() {
+	const int lsize=30;
+	const float beta = 0.5;
+	const float J = 1;
+	const int MC_steps=1000;
+	const int iter=lsize*lsize*5000;
+	int i; int j;
+	float del_E; float mp_probability; // mp means metropolis
+	float spin[lsize][lsize] = { 0 };
+        float deci[lsize][lsize] = { 0 };
+	random_device rd;
+	mt19937 gen(rd());
+	bernoulli_distribution distrib(0.5);
+	uniform_int_distribution<> distri(0, lsize - 1);
+	uniform_real_distribution<> dist(0, 1);
+	for (int t=0; t<iter;t++){
+		if (t==0){
+			for (int a=0;a<lsize;a++){
+				for (int b=0;b<lsize;b++){
+					if (distrib(gen)){
+						spin[a][b]=1;
+					}
+					else {
+						spin[a][b]=-1;
+					}
+				}
+			}
+		}
+		else {
+			i = distri(gen);
+			j = distri(gen);
+			if (i<lsize-1 && j<lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1])); // periodic boundary condition
+			}
+			else if (i==lsize-1 && j<lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][j+1]));
+			}
+			else if (i<lsize-1 && j==lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[i+1][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));
+			}
+			else if (i==lsize-1 && j==lsize-1){
+				del_E=2*J*(spin[i][j]*(spin[i-1][j] + spin[0][j] + spin[i][j-1] + spin[i][0]));
+			}
+			if (exp(-beta*del_E) < 1){
+				mp_probability = exp(-beta*del_E);
+			}
+			else if (exp(-beta*del_E) >= 1) {
+				mp_probability = 1;
+			}
+			if (dist(gen) < mp_probability){
+				spin[i][j] = spin[i][j]*(-1);
+			}
+		}
+	for (int a=0;a<lsize;a++){
+            for (int b=0;b<lsize;b++){
+                if ((a+1)%2==0 && (a+b)%2==1){
+                    deci[a][b] = spin[a][b];
+                    deci[a][b+1] = spin[a][b];
+                    deci[a-1][b+1] = spin[a][b];
+                    deci[a-1][b] = spin[a][b];//decimation (for block spin)
+                }
+            }
+        }
+}
+	return 0;
+}
+</code>
 ======참고문헌======
   * M. Plischke and B. Bergersen, //Equilibrium Statistical Physics//, 2nd ed.(World Scientific, Singapore, 1994)