물리:칼데이라-레겟_모형

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물리:칼데이라-레겟_모형 [2016/04/06 13:07] – [상관함수] admin물리:칼데이라-레겟_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 ======개요====== ======개요======
-칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]]의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.+칼데이라-레겟(Caldeira-Leggett) 모형은 [[물리:랑주뱅 방정식]]을 미시적으로 설명하기 위한 이론이다. 열저장체(heat reservoir)의 구체적인 성질 및 계(system)와의 상호작용은 최종 결과에 중요하지 않기 때문에, 열저장체는 다루기 쉬운 [[물리:조화진동자]](harmonic oscillator)의 집합이라고 가정하고 계와의 상호작용은 선형적인 항으로 표시할 것이다.
  
 ======라그랑지언====== ======라그랑지언======
Line 17: Line 17:
 여기에서 ck는 결합상수이다. 여기에서 ck는 결합상수이다.
  
-마지막의 LCT는 나란히 옮김 불변성(translational invariance)를 주기 위한 소위 반대항(counter term)으로서+마지막의 LCT는 소위 반대항(counter term)으로서
 LCT=−q2∑k12c2kmkω2k LCT=−q2∑k12c2kmkω2k
 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다. 으로 정의된다. 그 쓰임새는 유도과정에서 밝혀질 것이다.
Line 41: Line 41:
 M¨q+V′(q)+∑kc2kmkω2kL−1[s2˜q(s)s2+ω2k]=∑kckL−1[sqk(0)s2+ω2k+˙qk(0)s2+ω2k]. M¨q+V′(q)+∑kc2kmkω2kL−1[s2˜q(s)s2+ω2k]=∑kckL−1[sqk(0)s2+ω2k+˙qk(0)s2+ω2k].
  
-======흩어지기====== +======흩어지기 (dissipation)====== 
-좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학:라플라스 변환|라플라스 역변환]]은 다음의 브롬위치 적분으로 주어진다:+좌변의 마지막 항을 좀더 자세히 들여다보자. [[수학:라플라스 변환|라플라스 역변환]]은 다음의 브롬위치 적분(Bromwich integral)으로 주어진다:
 L−1[˜F(s)]=12πi∫ϵ+i∞ϵ−i∞˜F(s)estds. L−1[˜F(s)]=12πi∫ϵ+i∞ϵ−i∞˜F(s)estds.
 이 때에 ϵ은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 t에 대해 미분할 경우 이 때에 ϵ은 적당히 큰 어떤 상수이다. 따라서 전체 식을 t에 대해 미분할 경우
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-=====스펙트럼 함수=====+=====스펙트럼 함수 (spectral function)=====
 스펙트럼 함수 J(ω)를 다음처럼 정의하자: 스펙트럼 함수 J(ω)를 다음처럼 정의하자:
 J(ω)=π2∑kc2kmkωkδ(ω−ωk) J(ω)=π2∑kc2kmkωkδ(ω−ωk)
Line 70: Line 70:
 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 Ω가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다: 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 Ω가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\infty d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\+\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\Omega d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
 &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t'). &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t').
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
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-======요동======+======요동 (fluctuation)======
 위 운동방정식의 마지막 항을 f(t)라고 부르자: 위 운동방정식의 마지막 항을 f(t)라고 부르자:
 f(t)=∑kckL−1[sqk(0)s2+ω2k+˙qk(0)s2+ω2k]. f(t)=∑kckL−1[sqk(0)s2+ω2k+˙qk(0)s2+ω2k].
 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 t>0+에서 위에서 흩어지기 부분을 고쳐쓴 것까지 이용하면 t>0+에서
 M¨q+η˙q+V′(q)=f(t) M¨q+η˙q+V′(q)=f(t)
-가 될 것이다.+가 될 것이다. 이는 [[물리:랑주뱅 방정식]]과 같은 형태이며, 우리가 확인해야 할 것은 ⟨f(t)⟩=0과 ⟨f(t)f(t′)⟩=2ηkBTδ(t−t′)이라는 [[물리:랑주뱅 방정식]]의 가정이 만족되는지의 여부이다.
  
-t=0에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]]를 생각하면 앙상블 평균 ⟨…⟩에 대해 다음이 성립한다:+이를 위해 몇 가지 정보를 먼저 적어두자. 먼저 t=0에서 열저장체가 평형상태에 있으므로 고전적인 극한에서의 [[물리:등분배 정리]](equipartition theorem)를 생각하면 앙상블 평균 ⟨…⟩에 대해 다음이 성립한다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 \left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\ \left< \dot{q}_k (0) \right> &=& 0,\\
Line 110: Line 110:
 \left< f(t) f(t') \right> &=& \left< \left\{ \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right] \right\} \times \left< f(t) f(t') \right> &=& \left< \left\{ \sum_k c_k \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{s q_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} + \frac{\dot{q}_k(0)}{s^2 + \omega_k^2} \right] \right\} \times
 \left\{ \sum_{k'} c_{k'} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{s' q_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} + \frac{\dot{q}_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} \right] \right\} \right>\\ \left\{ \sum_{k'} c_{k'} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{s' q_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} + \frac{\dot{q}_{k'}(0)}{{s'}^2 + \omega_{k'}^2} \right] \right\} \right>\\
-&=& \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds' \sum_{kk'} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right]+&=& \frac{1}{(2 \pi i)^2} \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds \int_{\epsilon-i\infty}^{\epsilon+i\infty} ds' \sum_{kk'} c_k c_{k'} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right] e^{st} e^{s't'}\\ 
 +&=& \sum_{kk'} c_k c_{k'} \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{\left< \dot{q}_k(0) \dot{q}_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)} + \frac{ss'\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right>}{(s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_{k'}^2)}\right]
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 처럼 쓸 수 있다. 이 때 L′은 t를 s′과 연결짓는 [[수학:라플라스 변환]]을 의미한다. 처럼 쓸 수 있다. 이 때 L′은 t를 s′과 연결짓는 [[수학:라플라스 변환]]을 의미한다.
  
 +여기에서 평형점 ¯qk(0)의 표현식과 ⟨Δqk(0)⟩=0을 이용하면 다음을 보일 수 있다:
 +⟨qk(0)qk′(0)⟩=⟨[¯qk(0)+Δqk(0)]×[¯qk′(0)+Δqk′(0)]⟩=c2kmkω2kc2k′mk′ω2k′[q(0)]2+kBTmkω2kδkk′.
 +이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 ⟨f(t)⟩⟨f(t′)⟩ 꼴이 되어 0이다.
  
 +따라서 t>0이고 t′>0이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다: 
 +\begin{eqnarray*} 
 +\left< f(t) f(t') \right> &=& \sum_k c_k^2 \mathcal{L}^{-1} \mathcal{L'}^{-1} \left[ \frac{k_B T}{m_k (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} + \frac{ss' k_B T}{m_k \omega_k^2 (s^2+\omega_k^2)({s'}^2+\omega_k^2)} \right]\\ 
 +&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \left( \sin \omega_k t \sin \omega_k t' + \cos \omega_k t \cos \omega_k t' \right) u(t) u(t')\\ 
 +&=& \sum_k c_k^2 \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \cos \omega_k (t-t')\\ 
 +&=& 2\eta k_B T \delta(t-t'). 
 +\end{eqnarray*}
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
-  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Scholarpedia]] +  *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]] 
 +  *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
  • 물리/칼데이라-레겟_모형.1459917437.txt.gz
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