물리:칼데이라-레겟_모형

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물리:칼데이라-레겟_모형 [2016/04/06 18:54] – [참고문헌] admin물리:칼데이라-레겟_모형 [2025/11/02 22:13] (current) – [논의] admin
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 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다: 가 성립한다고 가정하자. 이를 옴(Ohm) 식의 스펙트럼 함수라고 부른다. 만일 차단주파수 $\Omega$가 굉장히 높다면 위의 적분은 다음처럼 간단해진다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\infty d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\+\sum_k \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \cos [\omega_k(t-t')] &=& \frac{\pi}{2} \int_0^\Omega d\omega \frac{J(\omega)}{\omega} \cos[\omega(t-t')]\\
 &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t'). &=& \frac{2}{\pi} \int_0^\Omega d\omega \eta \cos[\omega(t-t')] \xrightarrow[\Omega \rightarrow \infty]{} 2\eta \delta(t-t').
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
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 여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다: 여기에서 평형점 $\overline{q}_k(0)$의 표현식과 $\left< \Delta q_k(0) \right> = 0$을 이용하면 다음을 보일 수 있다:
 $$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$ $$\left< q_k(0) q_{k'}(0) \right> = \left< [\overline{q}_k(0)+\Delta q_k(0)] \times [\overline{q}_{k'}(0)+\Delta q_{k'}(0)] \right> = \frac{c_k^2}{m_k \omega_k^2} \frac{c_{k'}^2}{m_{k'} \omega_{k'}^2} \left[ q(0) \right]^2 + \frac{k_B T}{m_k \omega_k^2} \delta_{kk'}.$$
-이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 0이 된다.+이 중 첫 번째 항은 적분 안에 집어넣으면 $\left< f(t) \right> \left< f(t') \right>$ 꼴이 되어 $0$이다.
  
 따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다: 따라서 $t>0$이고 $t'>0$이라면 남는 부분은 아래처럼 정리된다:
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 &=& 2\eta k_B T \delta(t-t'). &=& 2\eta k_B T \delta(t-t').
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
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 +======논의======
 +열저장체 안에 있는 진동자의 수가 유한할 때, 특히 $V=0$ 또는 $V \propto x^2$일 때에는 주기적인 동역학을 볼 수 있다(푸앵카레 재귀). 그러나 진동자의 수가 늘어남에 따라 재귀시간이 아주 길어지므로, 그 재귀시간보다 아주 짧은 시간 영역만을 봄으로써 주기성을 무시한다.
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 +======함께 보기======
 +[[물리:린드블라드_방정식|린드블라드 방정식]]
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 ======참고문헌====== ======참고문헌======
   *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]]   *[[http://www.scholarpedia.org/article/Caldeira-Leggett_model|Caldeira-Leggett model (Scholarpedia)]]
   *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]   *[[https://www.apctp.org/plan.php/statws2016|The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics]]
 +  *[[https://www.physik.uni-bielefeld.de/~borghini/Teaching/Nonequilibrium16/07_22a.pdf|Nicolas Borghini's lecture note]]
 +  *[[https://arxiv.org/pdf/1701.05024|Dissipation in the Caldeira-Leggett model]]
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