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--- 물리:평균장_이론 [2016/02/11 12:40] – admin
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-======평균장 해밀토니안======
+======평균장 근사======
 [[물리:이징 모형]]의 [[물리:해밀토니안]]은 다음과 같이 쓰여진다:
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  $=  N_B J m^2 - J m z \sum_{i} S_i - h \sum_{i} S_i$
  $=  N_B J m^2 - (J m z +h) \sum_{i} S_i.$
-이 때  $N_B$ 는 전체 연결선의 수,  $z$ 는 한 스핀 당 연결선의 수를 의미한다.
+이 때  $N_B$ 는 전체 연결선의 수,  $z$ 는 한 스핀 당 연결선의 수를 의미한다. 그러니까 연결선을 따라 더하면( $\sum_{(ij)\in B}$ ) 각 스핀은  $z/2$ 번 더해지는 것에 해당한다 (한 연결선이 두 개의 스핀에 공유되므로  $1/2$ ).
 이렇게 근사적인 해밀토니안을 분배함수 식에 대입하면
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 를 얻는다.
+======무한 범위 모형======
+모든 스핀이 서로 연결된 이징 모형의 경우 평균장 이론은 정확한 답을 준다. 이 때의 해밀토니안은
+ $H = -\frac{J}{2N} \sum_{i \neq j} S_i S_j - h \sum_i S_i$
+이다. 첫 항의  $1/2$ 은 각 스핀쌍이 한 번씩만 나타나도록 추가한 것이고  $1/N$ 은 해밀토니안을 [[물리:크기 변수]]로 만들기 위해서이다.
+첫 번째 항의 합을 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+ $\sum_{i \neq j} S_i S_j = \left(\sum_i S_i \right)^2 - N.$
+따라서 분배함수는
+ $Z = \mbox{Tr} \exp \left[ \frac{\beta J}{2N} \left(\sum_i S_i \right)^2 - \frac{\beta J}{2} + \beta h \sum_i S_i \right]$
+이 된다. 이 중  $\beta J/2$ 는 상수이고 물리에 아무런 영향을 끼치지 않으므로 무시한다.
+[[수학:허바드-스트라토노비치 변환]]에 의하면
+ $e^{ax^2/2} = \sqrt{\frac{aN}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-Nam^2/2 + \sqrt{N}amx}$
+이므로  $a=\beta J$ 과  $x = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_i S_i$ 를 대입하면
+ $e^{\frac{\beta J}{2} \frac{1}{N} \left( \sum_i S_i \right)^2} = \frac{\beta J N}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta J m^2/2 + \beta J m \sum_i S_i}$
+이다. 여기에 대각합을 걸면  $\sum_i S_i$ 에만 걸리므로, 결과적으로 분배함수는
+ $Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$
+ $= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2} [2\cosh \beta(Jm+h)]^N$
+ $= \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ \exp \left\{  - \frac{N\beta Jm^2}{2} + N\ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\}$
+이 된다.
+[[수학:안장점 근사]] 방법에 의하면  $N \rightarrow \infty$ 에서 가장 큰 기여분은 아래 방정식이 만족될 때 얻어진다:
+ $\frac{\partial}{\partial m} \left\{ - \frac{\beta Jm^2}{2} + \ln [2\cosh \beta (Jm + h)] \right\} = 0.$
+이는 위에서 구한  $m = \tanh \beta (Jm+h)$ 와 같은 식이다.
+여기에서  $m$ 은 단순히 적분변수로서 등장했음에 유의하라. 그럼에도  $m$ 이라는 기호를 쓴 것은 여기에 직접적인 물리적 의미를 줄 수 있기 때문이다. 처음의 분배함수 식
+ $Z = \mbox{Tr} \sqrt{\frac{\beta J N}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty dm~ e^{-N\beta Jm^2/2 + \beta (Jm+h) \sum_i S_i}$
+에 [[수학:안장점 근사]] 방법을 적용하면
+ $\frac{\partial}{\partial m} \left\{ -\frac{\beta Jm^2}{2} + \beta (Jm+h) \frac{1}{N} \sum_i S_i \right\} = 0$
+이 되면서  $m = \frac{1}{N} \sum_i S_i$ 임을 확인할 수 있다.
+======참고문헌======
+  *H. Nishimori, //Statistical physics of spin glasses and information processing an introduction// (Clarendon, Oxford, 2001).