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| 이제 $n$이 짝수일 때 $n \times n$의 반대칭 행렬 $\Lambda$에 대해($\Lambda_{\alpha\beta} = -\Lambda_{\beta\alpha}$) $\bar{\varphi}$에 대한 적분 없이 쓰면 다음의 적분을 행하면 행렬식(determinant) 대신 그 반쪽에 해당하는 파피안(Pfaffian)을 얻는다: | 이제 $n$이 짝수일 때 $n \times n$의 반대칭 행렬 $\Lambda$에 대해($\Lambda_{\alpha\beta} = -\Lambda_{\beta\alpha}$) $\bar{\varphi}$에 대한 적분 없이 쓰면 다음의 적분을 행하면 행렬식(determinant) 대신 그 반쪽에 해당하는 파피안(Pfaffian)을 얻는다: | ||
| $$\int D\varphi \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{\alpha, | $$\int D\varphi \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{\alpha, | ||
| - | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 그라스만 변수 $\varphi_1$과 $\varphi_2$가 있을 때 $\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$이라면 | + | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 |
| $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \left( 1-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = a.$$ | $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \left( 1-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = a.$$ | ||