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| 물리:2차원_이징_모형 [2022/07/28 13:30] – [참고문헌] admin | 물리:2차원_이징_모형 [2026/04/15 14:00] (current) – [반교환자] admin | ||
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| - | 페르미온적 성질을 가지는 변수들은 [[수학: | + | 페르미온적 성질을 가지는 변수들은 [[수학:그라스만_대수|그라스만 대수]]를 따른다. 예를 들면 반교환(anti-commutator) 연산자를 걸었을 때 |
| $$\int d\varphi d\bar{\varphi} e^{\lambda \bar{\varphi} \varphi} = \int d\varphi d\bar{\varphi} (1+\lambda \bar{\varphi}\varphi) = \lambda$$ | $$\int d\varphi d\bar{\varphi} e^{\lambda \bar{\varphi} \varphi} = \int d\varphi d\bar{\varphi} (1+\lambda \bar{\varphi}\varphi) = \lambda$$ | ||
| 이므로 | 이므로 | ||
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| \end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
| - | 이제 $n$이 짝수일 때 $n \times n$의 반대칭 행렬 $\Lambda$에 대해($\Lambda_{\alpha\beta} = -\Lambda_{\beta\alpha}$) $\bar{\varphi}$에 대한 적분 없이 쓰면 다음의 적분을 행하면 행렬식(determinant) 대신 그 반쪽에 해당하는 파피안(Pfaffian)을 얻는다: | + | 이제 $n$이 짝수일 때 $n \times n$의 반대칭 행렬 $\Lambda$에 대해($\Lambda_{\alpha\beta} = -\Lambda_{\beta\alpha}$) $\bar{\varphi}$에 대한 적분 없이 쓰면 다음의 적분을 행하면 |
| $$\int D\varphi \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{\alpha, | $$\int D\varphi \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{\alpha, | ||
| - | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 그라스만 변수 $\varphi_1$과 $\varphi_2$가 있을 때 $\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{pmatrix}$이라면 | + | 이때 $[\text{Pfaff}(\Lambda)]^2 = \det \Lambda$이다. 예를 들어 두 개의 독립적인 |
| $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \left( 1-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = a.$$ | $$\int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{ij} \varphi_i \Lambda_{ij} \varphi_j \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \exp \left(-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = \int d\varphi_1 d\varphi_2 \left( 1-\frac{1}{2} \varphi_1 a \varphi_2 + \frac{1}{2} \varphi_2 a \varphi_1 \right) = a.$$ | ||
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| 장파장 영역($k \to 0$)에서 $-\beta f \propto m^2 \ln m^2$이며 $m = 4(K-K_c)$이므로 $m$으로의 미분은 $K$로의 미분과 대응된다. 즉 $\frac{\partial^2 f}{\partial K^2} \propto -\ln m^2$이 되어 비열이 임계점에서 로그 발산을 보인다. | 장파장 영역($k \to 0$)에서 $-\beta f \propto m^2 \ln m^2$이며 $m = 4(K-K_c)$이므로 $m$으로의 미분은 $K$로의 미분과 대응된다. 즉 $\frac{\partial^2 f}{\partial K^2} \propto -\ln m^2$이 되어 비열이 임계점에서 로그 발산을 보인다. | ||
| + | =====함께 보기===== | ||
| + | [[물리: | ||
| ======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||