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--- 물리:p-스핀_유리_모형 [2026/03/03 15:45] – [복제 대칭성 깨짐 해] admin
+++ 물리:p-스핀_유리_모형 [2026/08/18 10:37] (current) – [복제 대칭성 깨짐 해] admin
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 =====복제 대칭 해=====
-모든 복제본의 쌍 $a,b$에 대해 $Q_{ab}=Q$, $\lambda_{ab} = \lambda$로 가정하고 생략했던 지수 함수를 되살리면 자유에너지는
+모든 복제본의 쌍 $a,b$에 대해 $Q^{ab}=Q$, $\lambda^{ab} = \lambda$로 가정하고 생략했던 지수 함수를 되살리면 자유에너지는
 \begin{align*}
 G(Q,\lambda)&=-\frac14 \beta^2 J^2 n + \frac{n(n-1)}4 \frac{\lambda^2}{4\beta^2 J^2 Q^2} + \frac{n(n-1)}4\lambda Q-\ln\text{Tr}_{\sigma^a}\exp\left[\lambda\sum_{a< b}\sigma^a\sigma^b+\beta h\sum_a\sigma^a\right]
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 {{ :물리:t1.jpg?500 |}}
 $h\to0$일 때에 $T_c = 1/(2 \sqrt{\ln2}) \approx 0.600561$로 접근함을 확인할 수 있다.
+[[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]의 결과를 일반화하면, 아래의 부등식을 만족할 때 복제 대칭성 해는 안정하다 ($h=0$으로 놓았다):
+$$\frac{1}{p-1}\frac{Q}{\lambda} - \int \frac{dx}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \text{sech}^2 \left(\sqrt{\lambda} x\right) > 0.$$
+$\lambda = \frac12 \beta^2 p q^{p-1}$이므로, 첫째 항은 $q^{2-p}$에 비례하여 $p>2$일 때 $q\to 0$에서 발산하고, 따라서 언제나 부등식이 만족된다. 이는 $T>1$에서만 부등식을 만족하는 $p=2$의 경우([[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]])와 대조된다. 그러나 부등식을 만족한다고 해도 위에서 본 것처럼 저온에선 엔트로피가 음수가 되는 문제가 있어서, 복제 대칭성 해로 모든 온도 영역의 거동을 설명하지는 못한다.
 =====복제 대칭성 깨짐 해=====
 아래의 표현식에서 시작하자:
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 $\partial G/\partial q_1 = 0$로부터
 $$\lambda_1 = \frac{1}{2} \beta^2 J^2 p q_1^{p-1}$$
-을 얻고, $\partial G/\partial \lambda_1 = 0$으로부터 다음을 얻는다:
+을 얻고,
+\begin{eqnarray*}
+= \frac{\partial G}{\partial \lambda_1} &=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n - \frac{y \int Dz_1 ~x \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^{x-1} \left[ 2\sinh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right] \frac{z_1}{2\sqrt{\lambda_1}}}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n - \frac{n}{2\sqrt{\lambda_1}} \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) z_1}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n + \frac{n}{2\sqrt{\lambda_1}} \frac{ \int \frac{dz_1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{d}{dz_1} e^{-z_1^2/2} \right) \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n - \frac{n}{2\sqrt{\lambda_1}} \frac{ \int \frac{dz_1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_1^2/2} \left\{ \frac{d}{dz_1} \left[ 2^x\cosh^x\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \tanh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right] \right\}}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n - \left(\frac{n}{2}\right) \frac{ \int Dz_1 \left[ x 2^x\cosh^x\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) + 2^x\cosh^x\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \text{sech}^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& -\frac{n}{2} (1-x)q_1 + \frac12 n - \left(\frac{n}{2}\right) \frac{ \int Dz_1 2^x\cosh^x\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \left[ x \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) + \text{sech}^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+\end{eqnarray*}
+임의의 $z$에 대해 $\tanh^2 z + \text{sech}^2 z = 1$임을 이용하면 $x\tanh^2 z + \text{sech}^2 z = 1- (1-x)\tanh^2 z$이므로
+\begin{eqnarray*}
+(1-x)q_1 &=& 1 - \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \left[ 1-(1-x) \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)\right]}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+&=& (1-x) \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+\therefore q_1 &=& \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
+\end{eqnarray*}
+그러므로 주어진 역온도 $\beta$에 놓여있는 $p$-스핀 유리라면 먼저 적당한 $x \in (0,1]$를 택해 위의 두 방정식을 자기일관된 방식으로 풀어주는 $(q_1, \lambda_1)$을 구하고, 이를 아래 식에 대입하여
+$$\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}G\left( x \right) = -\frac{1}{4} \beta^2 J^2 + \frac{1}{4} \beta^2 J^2 (1-x)q_1^p - \frac{1}{2} (1-x)q_1 \lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 - \frac{1}{x} \ln \left\{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh \left( \sqrt{\lambda_1} z_1 \right) \right]^x \right\}$$
+값을 구한다. 편의상 $h=0$으로 놓았다. 이제 $x$를 바꾸어가며 위 식의 최댓값을 찾고 그 때를 $x_s$라고 한다.
+계산 결과는 아래 그림처럼 주어진다.
+{{:물리:pspin_rsb_ver2.png?400|}}
+$x_s=0$은 복제 대칭해에 해당한다.
+$p=2$인 [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]에서는 알려진 대로 $\beta=1$에서 복제 대칭성이 깨지는 것을 볼 수 있다.
+$p\to \infty$에서 [[물리:무작위_에너지_모형|무작위 에너지 모형]]을 따라 다음과 같은 결과가 예상된다:
+$$x_s = \left\{
+\begin{array}{ll}
+& \text{if }\beta<2\sqrt{\ln 2}\\
+\sqrt{\ln2}/\beta & \text{otherwise.}
+\end{array}
+\right.$$
+복제본 $a$와 $b$가 다른 그룹에 속하면 $q_0 / \lambda_0$이 발산하므로 해는 안정하다. 반면 둘이 같은 그룹에 속하면 안정성 조건은 다음처럼 주어진다:
+$$\frac{1}{p-1} \frac{q_1}{\lambda_1} - \frac{\int \frac{dz}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \cosh^{x-4} \sqrt{\lambda_1} z}{\int \frac{dz}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2} \cosh^x \sqrt{\lambda_1} z} > 0.$$
+$p$가 크다면 이 부등식은 $T> \frac{2}{3} \frac{p^{3/2}}{\sqrt{\pi}} 2^{-p}$에서 만족된다(Gardner, 1985). 그보다 낮은 온도에서는 복제 대칭성을 모두 깨뜨려야 한다([[물리:복제_대칭성_깨짐_해|복제 대칭성 깨짐 해]]에서 Full RSB를 기술하는 파리시 해 참조).
 ======함께 보기======
   * [[물리:무작위_에너지_모형|무작위 에너지 모형]]
   * [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]
+  * [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]
 ======참고문헌======
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   * Haiping Huang, //Statistical Mechanics of Neural Networks// (Springer, Singapore, 2021).
   * E. Gardner, //Spin glasses with $p$-spin interactions//, Nuclear Physics B257, 747 (1985).
+  * Florent Krzakala and Lenka Zdeborová, //Performance of simulated annealing in p-spin glasses//, [[https://doi.org/10.1088/1742-6596/473/1/012022|J. Phys. Conf. Ser. 473, 012022 (2013)]].
+  * Stefan Boettcher and Ginger E. Lau, //Ground States of the Mean-Field Spin Glass with 3-Spin Couplings//, [[https://doi.org/10.1103/j159-lpfx|Phys. Rev. Lett. 135, 037402 (2025)]].
+  * Viviane M de Oliveira and J F Fontanari, //Replica analysis of the p-spin interaction Ising spin-glass model//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/12/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 2285]].