물리:p-스핀_유리_모형

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물리:p-스핀_유리_모형 [2026/03/03 17:11] – [참고문헌] admin물리:p-스핀_유리_모형 [2026/03/21 21:40] (current) – [함께 보기] admin
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 =====복제 대칭 해===== =====복제 대칭 해=====
-모든 복제본의 쌍 $a,b$에 대해 $Q_{ab}=Q$, $\lambda_{ab} = \lambda$로 가정하고 생략했던 지수 함수를 되살리면 자유에너지는+모든 복제본의 쌍 $a,b$에 대해 $Q^{ab}=Q$, $\lambda^{ab} = \lambda$로 가정하고 생략했던 지수 함수를 되살리면 자유에너지는
 \begin{align*} \begin{align*}
 G(Q,\lambda)&=-\frac14 \beta^2 J^2 n + \frac{n(n-1)}4 \frac{\lambda^2}{4\beta^2 J^2 Q^2} + \frac{n(n-1)}4\lambda Q-\ln\text{Tr}_{\sigma^a}\exp\left[\lambda\sum_{a< b}\sigma^a\sigma^b+\beta h\sum_a\sigma^a\right] G(Q,\lambda)&=-\frac14 \beta^2 J^2 n + \frac{n(n-1)}4 \frac{\lambda^2}{4\beta^2 J^2 Q^2} + \frac{n(n-1)}4\lambda Q-\ln\text{Tr}_{\sigma^a}\exp\left[\lambda\sum_{a< b}\sigma^a\sigma^b+\beta h\sum_a\sigma^a\right]
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 \therefore q_1 &=& \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\ \therefore q_1 &=& \frac{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x \tanh^2\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right)}{\int Dz_1 \left[ 2\cosh\left( \sqrt{\lambda_1} z_1 + \beta h \right) \right]^x}\\
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 +그러므로 주어진 역온도 $\beta$에 놓여있는 $p$-스핀 유리라면 먼저 적당한 $x \in (0,1]$를 택해 위의 두 방정식을 자기일관된 방식으로 풀어주는 $(q_1, \lambda_1)$을 구하고, 이를 아래 식에 대입하여
 +$$\lim_{n\to 0}\frac{1}{n}G\left( x \right) = -\frac{1}{4} \beta^2 J^2 + \frac{1}{4} \beta^2 J^2 (1-x)q_1^p - \frac{1}{2} (1-x)q_1 \lambda_1 + \frac{1}{2}\lambda_1 - \frac{1}{x} \ln \left\{ \int Dz_1 \left[ 2\cosh \left( \sqrt{\lambda_1} z_1 \right) \right]^x \right\}$$
 +값을 구한다. 편의상 $h=0$으로 놓았다. 이제 $x$를 바꾸어가며 위 식의 최솟값을 찾고 그 때를 $x_s$라고 하자. 계산 결과는 아래 그림처럼 주어진다.
  
 +{{:물리:pspin_rsb.png?400|}}
  
 +$x_s=0$은 복제 대칭해에 해당한다. $p=2$인 [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]에서는 알려진 대로 $\beta=1$에서 복제 대칭성이 깨지는 것을 볼 수 있다.
 +$p\to \infty$에서 [[물리:무작위_에너지_모형|무작위 에너지 모형]]을 따라 다음과 같은 결과가 예상된다:
 +$$x_s = \left\{
 +\begin{array}{ll}
 +0 & \text{if }\beta<2\sqrt{\ln 2}\\
 +2\sqrt{\ln2}/\beta & \text{otherwise.}
 +\end{array}
 +\right.$$
 ======함께 보기====== ======함께 보기======
   * [[물리:무작위_에너지_모형|무작위 에너지 모형]]   * [[물리:무작위_에너지_모형|무작위 에너지 모형]]
   * [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]   * [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]
 +  * [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]
  
 ======참고문헌====== ======참고문헌======
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   * Haiping Huang, //Statistical Mechanics of Neural Networks// (Springer, Singapore, 2021).   * Haiping Huang, //Statistical Mechanics of Neural Networks// (Springer, Singapore, 2021).
   * E. Gardner, //Spin glasses with $p$-spin interactions//, Nuclear Physics B257, 747 (1985).   * E. Gardner, //Spin glasses with $p$-spin interactions//, Nuclear Physics B257, 747 (1985).
-  * Stefan Boettcher and Ginger E. Lau, //Ground States of the Mean-Field Spin Glass with 3-Spin Couplings//, Phys. Rev. Lett. **135**, 037402 (2025).+  * Florent Krzakala and Lenka Zdeborová, //Performance of simulated annealing in p-spin glasses//, [[https://doi.org/10.1088/1742-6596/473/1/012022|J. Phys. Conf. Ser. 473, 012022 (2013)]]. 
 +  * Stefan Boettcher and Ginger E. Lau, //Ground States of the Mean-Field Spin Glass with 3-Spin Couplings//, [[https://doi.org/10.1103/j159-lpfx|Phys. Rev. Lett. 135, 037402 (2025)]]. 
 +  * Viviane M de Oliveira and J F Fontanari, //Replica analysis of the p-spin interaction Ising spin-glass model//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/12/004|J. Phys. A: Math. Gen. 32 2285]].
  
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