물리:tap_방정식

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물리:tap_방정식 [2023/05/17 00:54] – minwoo물리:tap_방정식 [2023/09/07 07:01] (current) – minwoo
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 ====== 공동 방법(cavity method) ====== ====== 공동 방법(cavity method) ======
  
-TAP(Thouless-Anderson-Palmercavity)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.+TAP(Thouless-Anderson-Palmer)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
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 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-==== 국소장 $\tilde{h}_i$ ====+==== 국소장 $\tilde{h}_0$ ====
  
-관측 가능량 중 하나로서 '국소적 자화량(local magnetization)'을 $m_i = \langle S_i \rangle$라고 표기한다면, 이는 한 곳에 대한 열적 평균(thermal average)을 내린 값이다.+관측 가능량 중 하나로서 '국소적 자화량(local magnetization)'을 $m_0 = \langle S_0 \rangle$라고 표기한다면, 이는 한 곳에 대한 열적 평균(thermal average)을 내린 값이다.
  
 +$$ \\ $$
 +이때, 원래 $N$개의 스핀으로 이루어진 게에 $S_0$를 추가하는 상황을 생각해보자.
  
-이번 글에서의 최종 목표는, 이러한 국소적 자화량이 TAP 방정식을 만족함을 보이는 것이다.+($S_0$는 위치 $0$에 추가된 스핀을 의미하는 관습적인 표기법이다.) 
 + 
 +그에 따라 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화하였다. 그의 국소적 자화량은 $m_0=\langle S_0 \rangle$이다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이어지는 논의에서는 편의상 외부 자기장은 없다고 하여 그에 따라 $h_i=0$이며+이번 글에서의 최종 목표는, 이러한 국소적 자화량이 TAP 방정식을 만족함을 보이는 것이다.
  
-격자 구조가 베테 격자(Bethe lattice)로서 나뭇가지 구조(tree structure)를 갖는다고 하자.+이어지는 논의에서는 편의상 외부 자기장은 없다고 하여 그에 따라 $h_i=0$이라고 하자.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-국소적 자화량에 대한 평균인 $\langle S_i \rangle$을 얻기 위해서는, 국소적 스핀에 대한 분포함수 $P_i(S_i)$를 얻으면 되는데+국소적 자화량에 대한 평균인 $\langle S_0 \rangle$을 얻기 위해서는, 국소적 스핀에 대한 분포함수 $P(S_0)$를 얻으면 되는데
  
-이를 구하기 위해서 아래의 국소장(local field)을 먼저 고려하자.+이를 구하기 위해서는 아래의 국소장(local field)을 먼저 고려해야 한다.
  
-$$ \tilde{h}_i = \sum_{j} J_{ij}S_j $$+$$ \tilde{h}_0 = \sum_{j} J_{0j}S_j $$
  
-즉, 이는 스핀 $S_i$와 이웃인 스핀 $S_j$들에 대한 장(field)이다.+왜냐하면 스핀 $S_0$가 추가되므로 그의 이웃인 스핀 $S_j$들의 상호작용을 고려해야 한다.
  
-그렇다면 $S_i$와 $\tilde{h}_i $의 결합 분포(joint distribution)는 다음과 같이 표현될 것이다.+따라서 $S_0$와 $\tilde{h}_0 $의 결합 분포(joint distribution) $P(S_0,\tilde{h}_0)$를 구한 후에, 그를 통해 $S_0$와 $\tilde{h}_0$의 열적 평균 값을 구하면 될 것이다.
  
-$$ P(S_i, \tilde{h}_i ) \propto e^{\beta \tilde{h}_i S_i}P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$$+$$ \\ $$ 
 +$S_0$에 의해 스핀 $N$개에서 $N+1$개로 변한다면, 에너지 $E^{(N)}$에서 $E^{(N+1)}$로 다음과 같이 변한다.
  
-$P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$는 '$S_i$가 계로부터 제거되었을 때'에 해당하는 $ \tilde{h}_i$의 분포이다. +$$ S_0 = 1 , \quad E^{(N+1)}=E^{(N)}-\beta \tilde{h}_0 \\ 
 +S_0 = -1 , \quad E^{(N+1)}=E^{(N)}+\beta \tilde{h}_0  
 +$$
  
-이러한 상황을 표현해볼 때, 모든 $j$에 대해서 $J_{ij}=0$인 경우이므로  $\tilde{h}_i$의 정의에 혼동이 생길 수 있지만 
  
-아래의 함수 식을 살펴보면 더 원활히 이해할 수 있다.+$$ \\ $$ 
 +즉, 우리가 구하고자 하는 $P(S_0,\tilde{h}_0)$는 다음과 같이 표현될 것이다.
  
-$$ P(\tilde{h}_i＼S_i)\equiv \text{Tr}_{S＼S_i}\  \delta\left(\tilde{h}_i - \sum_j J_{ij}S_j\right) P(\boldsymbol{S}＼S_i)$$+$$ P(S_0,\tilde{h}_0) \propto  \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$$
  
-여기서 $P(\boldsymbol{S}＼S_i)$는 $S_i$가 제외된 전체 계에 대한 확률 분포이다.+여기에서 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 $S_0$가 식에 포함되지 않은 확률 분포를 말한다.
  
-$$ \\ $$ +더 자세하게 표현하자면, $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 ($S_0$가 아닌) $\tilde{h}_0$에 대한 확률 분포의 식이며, $e^{\beta \tilde{h}_0 S_0}$은 $N+1$의 계를 기술하기 위해 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$에 포함되었다.
-즉, 위의 식에서  $P(\boldsymbol{S}＼S_i)$가 $S_i$를 제외하는 기여를 하는 확률 분포이며, $\delta\left(\tilde{h}_i - \sum_j J_{ij}S_j\right)$의 디랙-델타 함수는 $\tilde{h}_i=\sum_j J_{ij}S_j$라는 정보를 포함하는 분포이다.+
  
-$$ \\ $$ 
-그림으로 나타내자면, 위의 식을 다음과 같이 이해할 수 있다. 
  
-위의 상황은 원래의 스핀 $N$개로 이루어진 계에 한 개의 스핀을 추가함으로써 아래의 그림과 같은 변화가 생기도록 한 것과 같다.+이제 $ P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 식을 나타낼 수 있다면, 공동 방법(cavity method)의 기본적인 아이디어를 통해서 'TAP 방정식'을 얻는 것이 가능하다.
  
-{{:물리:cavity1.png?500|}}+$$ \\ $$ 
 +==== $P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$ ====
  
-왼쪽의 경우가 원래 스핀 $N$개의 계이며, 오른쪽의 경우는 스핀 한개를 추가함으로써 $N+1$개가 된 계이다.+만약 격자 구조가 아래와 같은 베테 격자(Bethe lattice) 구조라면,
  
-$$ \\ $$ +{{:물리:tap_bethe_edited.png?300|}}
-우리가 구하고자 하는 $P_i(S_i)$는 다음과 같이 표현될 것이다.+
  
-$$ P_i(S_i) \propto \int d \tilde{h}_i \ e^{\beta \tilde{h}_i S_i} P(\tilde{h}_i ＼S_i)$$ 
  
-따라서 $ P(\tilde{h}_i ＼S_i)$의 식을 얻을 수 있다면, 공동 방법(cavity method)의 기본적인 아이디어를 통해서 'TAP 방정식'을 얻는 것이 가능하다.+$P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$에 대해 '중심 극한 정리(central limit theorem)'를 적용할 수 있다.
  
-$$ \\ $$ +왜냐하면 위치 $0$의 $S_0$에 연결된 각각의 이웃 위치 $j$에 대한 $J_{0j}S_j$는 '$S_0$의 정보가 제외된다면' 서로 독립적이기 때문이다. 
-==== $P(\tilde{h}_i ＼S_i)$ ====+
  
-이때, 우리가 위에서 스핀이 존재하는 격자 구조를 베테 격자(Bethe lattice)로 가정했으므로+(위의 베테 격자 그림에서 $S_0$를 감싸는 '공동(cavity)'을 생각하고 마치 $S_0$가 없는 상황을 떠올리면 보다 이해하기 쉽다. 
 + 
 +그 상황에서 스핀의 개수는 $N$개 이다.)
  
-$P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$에 대해 '중심 극한 정리(central limit theorem)'를 적용할 수 있다. 
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-왜냐하면 베테 격자는 나뭇가지(tree) 구조를 가지기 때문에, 앞서 본 아래의 그림처럼 +이때, 서로 다른 위치에 대한 상관관계(correlation)가 약한 '셰링턴-커크패트릭 모형'에 대해서도 이러한 가정을 도입할 수 있다고 하자.
- +
-{{:물리:cavity2.png?150|}}+
  
-스핀이 제거됨과 동시에 독립적인(independent) 나뭇가지로 분리되는 성질이 있기 때문이다. 
  
-즉, 독립적이고 동일하게 분포된(independent and identically distributed) $J_{ij}S_j$에 대해서,+즉, 독립적이고 동일하게 분포된(independent and identically distributed) $J_{0j}S_j$에 대해서
  
-$S_i$가 제거된 경우의 '공동 장(cavity field)'인 $\tilde{h}_i$의 분포는 ($N$이 증가함에 따라) 가우스 분포(Gaussian distribution)인 것을 알 수 있다.+$S_0$가 식에 포함되지 않는 $\tilde{h}_0$의 분포는 ($N$이 증가함에 따라) 가우스 분포(Gaussian distribution)인 것을 알 수 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
 즉, 다음과 같은 형태로 표현 가능하다. 즉, 다음과 같은 형태로 표현 가능하다.
  
-$$ P(\tilde{h}_i ＼ S_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i}\right]$$+$$ P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]$$
  
-위의 식에서 $V_i$는 국소장의 분산(variance)이다.+위의 식에서 $V_0$는 국소장의 분산(variance)이다.
  
-분산 $V_i$를 식으로 표현하면 아래와 같다.+분산 $V_0$를 식으로 표현하면 아래와 같다.
  
 $$  $$ 
 \begin{align} \begin{align}
  
-V_i &= \langle (\tilde{h}_i)^2\rangle - \langle  +V_0 &= \langle (\tilde{h}_0)^2\rangle - \langle  
-\tilde{h}_i \rangle ^2+\tilde{h}_0 \rangle ^2
 \\ \\
-&=\sum_{j,k}J_{ij}J_{ik}(\langle S_jS_k\rangle_{＼i} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼i} \langle S_k\rangle_{＼i}  )+&=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  )
 \end{align}$$ \end{align}$$
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
  
-이때, '셰링턴-커크패트릭 모형'의 분포함수를 고려하자.+이때, '셰링턴-커크패트릭 모형'의 분포함수에 주목하자.
  
 $$ P(J_{ij}) = \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J_0}{N} \right)^2 \right\} $$  $$ P(J_{ij}) = \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J_0}{N} \right)^2 \right\} $$ 
  
-위의 식으로부터 $J_{ij}$의 기댓값은 $\frac{J_0}{N}$이며 분산은 $\frac{J^2}{N}$임을 알 수 있다.+위의 식으로부터 $J_{0j}$의 기댓값은 $\frac{J_0}{N}$이며 분산은 $\frac{J^2}{N}$임을 알 수 있다.
  
-따라서 $N \to \infty$인 경우에는 $V_i=\sum_{j,k}J_{ij}J_{ik}(\langle S_jS_k\rangle_{＼i} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼i} \langle S_k\rangle_{＼i}  )$의 식에서 $j=k$인 경우만이 살아남는다는 것을 알 수 있다.+또한 $V_0$를 계산할 때, $N(N-1)$개의 서로 상관관계가 없고 (uncorrelated) 무작위적으로 부호를 갖는 (randomly signed) $j\ne k$의 항들의 합은 열역학적 극한인 $N \to \infty$에서 $0$이 된다. 
 + 
 +따라서 $N \to \infty$인 경우에는 $V_0=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  )$의 식에서 $j=k$인 경우만이 살아남는다는 것을 알 수 있다.
  
 그 결과는 다음과 같이 표현 된다. 그 결과는 다음과 같이 표현 된다.
  
-$$ V_i \approx \sum_j J_{ij}^2(1-\langle S_j \rangle^2 _{＼i} \approx \sum_j J_{ij}^2(1-\langle S_j \rangle^2 = \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2) $$+$$ V_0 \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 _{＼0} \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 = \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2) $$
  
-이와 같이 국소장의 분산 $V_i$을 얻었으므로 $ P_i(S_i) \propto \int d \tilde{h}_i \ e^{\beta \tilde{h}_i S_i} P(\tilde{h}_i ＼S_i)$의 관계를 이용하여 $m_i$를 구하면 된다.+이와 같이 국소장의 분산 $V_0$을 얻었으므로 $ P(S_0) \propto \int d \tilde{h}_0 \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 관계를 이용하여 $m_0$를 구하면 된다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-==== $m_i$ ==== +==== $m_0$ ====
- +
-$S_i$는 $1$ 또는 $-1$의 이산적인 값을 가지므로, $m_i$를 다음과 같이  +
- +
-분배함수를 포함한 대각합(trace, $\text{Tr}$)으로 계산할 수 있다. +
- +
-$$m_i= \sum_{S_i=\pm1} \frac{P(S_i)}{P(S_i=1)+P(S_i=-1)}S_i$$+
  
  
-이때, 위에서 설명한 식에 따라서 $P(S_i)$는 다음과 같이 표현된다.+위에서 설명한 식에 따라서 $P(S_0)$는 다음과 같이 표현된다.
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-P(S_i) & \propto \int d \tilde{h}_i \ \exp[{\beta \tilde{h}_i S_i}] P(\tilde{h}_i ＼S_i) \\ +P(S_0) & \propto \int d \tilde{h}_0 \ \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] P(\tilde{h}_0 ＼S_0) \\ 
-& = \int d\tilde{h}_i \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp[{\beta \tilde{h}_i S_i}] \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i}\right]\\ +& = \int d\tilde{h}_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]\\ 
-& = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\left[-\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i} +\beta \tilde{h}_i S_i \right] \\+& = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\left[-\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta \tilde{h}_0 S_0 \right] \\
  
-&= \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\left(\tilde{h}_i^2 -2\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 -2V_i\beta S_i \tilde{h}_i \right) \Biggr]\\+&= \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\left(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 -2V_0\beta S_0 \tilde{h}_0 \right) \Biggr]\\
  
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl(\tilde{h}_i^2 -2\tilde{h}_i(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)  \\ +&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)  \\ 
-&\qquad \qquad +(\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2-(\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr) \Biggr]\\+&\qquad \qquad +(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2-(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr) \Biggr]\\
  
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\ +&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\ 
-&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr]\\+&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\
  
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}}\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr] \sqrt{2\pi V_i}) \\+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}}\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \sqrt{2\pi V_0}) \\
  
-&=\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr] \\+&=\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \\
  
-&=\exp\Biggl[ \frac{1}{2V_i}\Bigl( 2 \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}V_i\beta S_i  +(V_i\beta S_i)^2  \Bigr)\Biggr] \\+&=\exp\Biggl[ \frac{1}{2V_0}\Bigl( 2 \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}V_0\beta S_0  +(V_0\beta S_0)^2  \Bigr)\Biggr] \\
  
-&=\exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] +&=\exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] 
 \end{align}$$ \end{align}$$
  
-이제 $P(S_i)$가 $\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] $에 비례한다는 것을 얻었으므로, 아래와 같이 $m_i$룰 계산하자.+이제 $P(S_0)$가 $\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $에 비례한다는 것을 얻었으므로, 아래와 같이 $m_0$룰 계산하자.
  
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
  
-m_i &= \sum_{S_i=\pm 1} \frac{1}{[\exp[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} \ + \exp[-\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]]} S_i\exp\bigl[ \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\bigr] \\ +m_0 &= \sum_{S_0=\pm 1} \frac{1}{[\exp[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \ + \exp[-\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]]} S_0\exp\bigl[ \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\bigr] \\ 
-&=\tanh[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]+&=\tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
  
-여기서 $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$의 식을 얻으면 $m_i$를 온전히 표현할 수 있다.+여기에서 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$라고 함은 스핀 $N$개에 대한 $\tilde{h}_0$의 평균값이다. 
 + 
 +그러므로 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$의 식을, 스핀 $N+1$개에 대한 $\langle \tilde{h_0}\rangle$에 대해서 얻으면 $m_0$를 온전히 표현할 수 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이때, $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$이 아닌 $\langle \tilde{h_i} \rangle$ 로서 '$S_i$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_i$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.+$\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$이 아닌 $\langle \tilde{h_0}\rangle$ 로서 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_0$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.
  
-$$ \langle \tilde{h}_i \rangle = +$$ \langle \tilde{h}_0 \rangle = 
-\text{Tr}_{S_i} \int d\tilde{h}_i \tilde{h}_i P(S_i,\tilde{h}_i) $$+\text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 P(S_0,\tilde{h}_0) $$
  
  
-여기에서 (앞서 살펴본) $P(S_i,\tilde{h}_i) \propto e^{\beta\tilde{h}_i S_i}P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$를 이용하면 +여기에서 (앞서 살펴본) $P(S_0,\tilde{h}_0) \propto e^{\beta\tilde{h}_0 S_0}P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$를 이용하면 
  
-다음과 같은 과정에 의해서 $\langle \tilde{h_i} \rangle$와 $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$에 대한 관계식을 얻는다.+다음과 같은 과정에 의해서 $\langle \tilde{h_0}\rangle$와 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$에 대한 관계식을 얻는다.
  
 $$ $$
 \begin{align} \begin{align}
-\langle \tilde{h}_i \rangle &\propto \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \ \text{Tr}_{S_i} \int d\tilde{h}_i \tilde{h}_i\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i} +\beta\tilde{h}_i S_i \Biggr]\\+\langle \tilde{h}_0 \rangle &\propto \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \ \text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta\tilde{h}_0 S_0 \Biggr]\\
  
-&=  \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \text{Tr}_{S_i}  \int  d\tilde{h}_i \tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\ +&=  \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \text{Tr}_{S_0}  \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\ 
-&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr]\\+&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\
  
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right] × \\ +&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] × \\ 
-&\text{Tr}_{S_i} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] \int  d\tilde{h}_i \tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\+&\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
  
  
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right] ×\\ +&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] ×\\ 
-&\text{Tr}_{S_i}\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr]  \int  d\tilde{h}_i \Bigl(  \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i \Bigr) \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\+&\text{Tr}_{S_0}\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \int  d\tilde{h}_0 \Bigl(  \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
  
-&= \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\text{Tr}_{S_i} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr]  \Bigl(\langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i \Bigr) \\+&= \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \Bigl(\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \\
  
-&=  \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta \langle S_i \rangle+&=  \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle
  
 \end{align} \end{align}
Line 195: Line 193:
 $$  $$ 
 \begin{align} \begin{align}
-\therefore  \langle \tilde{h_i}  \rangle &= \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta \langle S_i \rangle \\ +\therefore  \langle \tilde{h_0} \rangle &= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle \\ 
-&= \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta m_i+&= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0
 \end{align}$$ \end{align}$$
  
 위의 유도 과정에서는 앞서서 계산한 적분 결과를 곧바로 사용하였고,  위의 유도 과정에서는 앞서서 계산한 적분 결과를 곧바로 사용하였고, 
  
-$P(S_i) \propto \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] $임을 적용하여 관계식을 등호로 바꿀 수 있었다.+$P(S_0) \propto \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $임을 적용하여 관계식을 등호로 바꿀 수 있었다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이때 '$S_i$를 제외 시키지 않은' 경우에 해당하는 국소장의 기댓값은 $\langle \tilde{h_i} \rangle=\sum_j J_{ij} m_j$이므로+이때 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우에 해당하는 국소장의 기댓값은 $\langle \tilde{h_0}\rangle=\sum_j J_{0j} m_j$이므로
  
-앞서 얻었던 식인 $m_i = \tanh[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]$은, 결론적으로 아래와 같다.+앞서 얻었던 식인 $m_0 = \tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]$은, 결론적으로 아래와 같다.
  
  
 \begin{align} \begin{align}
-m_i &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_i}  \rangle - V_i\beta m_i \right)\right] \\ +m_0 &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_0} \rangle - V_0\beta m_0 \right)\right] \\ 
-&=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{ij} m_j -\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i \right)\right]+&=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j^2)m_0 \right)\right]
 \end{align} \end{align}
  
 +위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다. $S_0$가 포함 되었으므로, 스핀 $N+1$개에 대한 계를 기술한다.
  
-위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다.+$$ \\ $$ 
 +===== TAP 방정식의 가정 ===== 
 + 
 +TAP 방정식은 고온의 영역에서만 옳은 결과를 준다는 한계가 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
 +왜냐하면, 우리가 유도 과정을 거칠 때에 사용하였던 주된 가정은 $\sum_{j,k} (\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$이 
  
 +$j \ne k$ 일 때는 $N \to \infty$에서 크게 기여하지 못한다는 가정이었다.
 +
 +$$ \\ $$
 +그러나, 저온의 영역에서는  $N \to \infty$에서도 $j,k$에 대해서 $(\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$가 유한한 값을 가지므로
 +
 +TAP 방정식이 정확히 옳은 결과를 주지 못한다.
 +
 +$$ \\ $$
 ====== the reaction field of Onsager ====== ====== the reaction field of Onsager ======
  
 TAP 방정식인 다음의 식을 다시 살펴보면 TAP 방정식인 다음의 식을 다시 살펴보면
  
-$$ m_i =  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{ij} m_j -\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i \right)\right]$$+$$ m_0 =  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0 \right)\right]$$
  
-$-\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i   $의 항은 마치 '추가로 붙게 된 항'처럼 보인다.+$-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항은 마치 '추가로 붙게 된 항'처럼 보인다.
  
 사실, 이 항은 '상쇄'의 역할을 하며 중요한 의미를 갖는다. 사실, 이 항은 '상쇄'의 역할을 하며 중요한 의미를 갖는다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-자화량 $m_i$는 $j$의 위치에, '내부장(internal field)' $J_{ij}m_i$만큼의 영향을 준다.+자화량 $m_0$는 $j$의 위치에, '내부장(internal field)' $J_{0j}m_0$만큼의 영향을 준다.
  
-그에 따라, 위치 $j$의 자화량 $m_j$는 $\chi_{jj}J_{ij}m_i$만큼 변하게 된다. $\chi_{jj}$는 다음과 같다.+그에 따라, 위치 $j$의 자화량 $m_j$는 $\chi_{jj}J_{0j}m_0$만큼 변하게 된다. $\chi_{jj}$는 다음과 같다.
  
 $$ \chi_{jj} = \frac{\partial m_j}{\partial h_j} \Biggl|_{h_j \to 0}=\beta(1-m_j^2)$$ $$ \chi_{jj} = \frac{\partial m_j}{\partial h_j} \Biggl|_{h_j \to 0}=\beta(1-m_j^2)$$
-($\chi$가 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며, 그 값은 앞서 분산 $V_i$를 구할 때와 마찬가지의 방식으로 구할 수 있다.)+($\chi$가 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며, 그 값은 앞서 분산 $V_0$를 구할 때와 마찬가지의 방식으로 구할 수 있다.)
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이때, 이렇게 변화한 $m_j$의 값에 의해서 $m_i$가 다시 영향을 받게 되는 값은 다음과 같다.+이때, 이렇게 변화한 $m_j$의 값에 의해서 $m_0$가 다시 영향을 받게 되는 값은 다음과 같다.
  
-$$ J_{ij} \chi_{jj}J_{ij}m_i = \beta J_{ij}^2(1-m_j)^2 m_i$$ +$$ J_{0j} (\chi_{jj}J_{0j}m_0) = \beta J_{0j}^2(1-m_j^2 )m_0$$ 
-그런데 이것을 발생시킨 $m_j$의 변화는 $m_i$에 의한 것이므로, 이러한 항의 효과는 제거해주어야 한다.+그런데 이것을 발생시킨 $m_j$의 변화는 $m_0$에 의한 것이므로, 이러한 항의 효과는 제거해주어야 한다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-TAP 방정식에서 $-\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i   $의 항이 해당 역할을 적절하게 수행하므로,+TAP 방정식에서 $-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항이 해당 역할을 적절하게 수행하므로,
  
 'Onsager의 반응장(reaction field)'으로 불린다. 'Onsager의 반응장(reaction field)'으로 불린다.
- 
-$$ \\ $$ 
-===== TAP 방정식의 가정 ===== 
- 
-TAP 방정식은 고온의 영역에서만 옳은 결과를 준다는 한계가 있다. 
- 
-$$ \\ $$ 
-왜냐하면, 우리가 유도 과정을 거칠 때에 사용하였던 주된 가정은 $\sum_{j,k} (\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$이  
- 
-$j \ne k$ 일 때는 $N \to \infty$에서 크게 기여하지 못한다는 가정이었다. 
- 
-$$ \\ $$ 
-그러나, 저온의 영역에서는  $N \to \infty$에서도 $j,k$에 대해서 $(\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$가 유한한 값을 가지므로 
- 
-TAP 방정식이 정확히 옳은 결과를 주지는 못한다. 
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 268: Line 264:
 우리가 [[물리:복제_대칭_해|복제_대칭_해]]에서 살펴본 결과는 TAP 방정식을 이용해서도 유도가 가능하다. 우리가 [[물리:복제_대칭_해|복제_대칭_해]]에서 살펴본 결과는 TAP 방정식을 이용해서도 유도가 가능하다.
  
-우선, 상호작용인 $J_{ij}$를 강자성(ferromagnetic)에 대한 항과 난수(random)로 표현되는 항으로 분리하여 아래와 같이 나타내자.+우선, 상호작용인 $J_{0j}$를 강자성(ferromagnetic)에 대한 항과 난수(random)로 표현되는 항으로 분리하여 아래와 같이 나타내자.
  
-$$ J_{ij} = \frac{J_0}{N} + \frac{J}{\sqrt{N}}z_{ij} $$+$$ J_{0j} = \frac{J_0}{N} + \frac{J}{\sqrt{N}}z_{0j} $$
  
-여기에서 $z_{ij}$는 가우스 랜덤 변수(Gaussian random variable)로서 평균이 $0$이며 분산을 $1$로 갖는 변수이다.+여기에서 $z_{0j}$는 가우스 랜덤 변수(Gaussian random variable)로서 평균이 $0$이며 분산을 $1$로 갖는 변수이다.
  
-앞서 얻었던 $ \langle \tilde{h_i}  \rangle = \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta m_i$의 식에 이를 대입하면 다음과 같다.+앞서 얻었던 $ \langle \tilde{h_0} \rangle = \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0$의 식에 이를 대입하면 다음과 같다.
  
-$$\langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i} = \frac{J_0}{N}\sum_j m_j + \frac{J}{\sqrt{N}}\sum_j z_{ij}m_j - V_i \beta m_i $$+$$\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0} = \frac{J_0}{N}\sum_j m_j + \frac{J}{\sqrt{N}}\sum_j z_{0j}m_j - V_0 \beta m_0 $$
  
 첫번째 항인 $\frac{J_0}{N}\sum_j m_j$는 $J_0 m$과 같으며, $m$은 강자성 질서 맺음 변수(order parameter)이다. 첫번째 항인 $\frac{J_0}{N}\sum_j m_j$는 $J_0 m$과 같으며, $m$은 강자성 질서 맺음 변수(order parameter)이다.
Line 283: Line 279:
 세번째 항의 역할은 Onsager의 reaction field에서 살펴본 '공동 보정(cavity correction)'의 효과를 주는 것이므로 세번째 항의 역할은 Onsager의 reaction field에서 살펴본 '공동 보정(cavity correction)'의 효과를 주는 것이므로
  
-두번째 항의 $ z_{ij}m_j$가 독립적인 '담금질' 랜덤 변수(indepedent 'quenched' random variable)인 것으로 가정할 수 있도록 한다.+두번째 항의 $ z_{0j}m_j$가 독립적인 '담금질' 랜덤 변수(indepedent 'quenched' random variable)인 것으로 가정할 수 있도록 한다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-그에 따라서 '중심 극한 정리'를 적용할 수 있고, $z_{ij}m_j$가 가우스 분포를 따른다고 가정할 수 있다.+이를 보다 자세히 설명하자면, $\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}$를 표현하는 식의 의미는 '공동 장'의 평균으로서 $S_0$가 제거된 경우를 보는 것이므로  
 + 
 +한 위치 $j$로 부터 발생하는 기여분은 또 다른 $j$로 부터 발생하는 기여분과 서로 간섭하지 않는다. 
 + 
 +$$ \\ $$ 
 +따라서 '중심 극한 정리'를 적용할 수 있고, $\sum_j z_{0j}m_j$가 가우스 분포를 따른다고 가정할 수 있다.
  
 즉, 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다. 즉, 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다.
  
-$$ \sum_j \sum_k [z_{ij}z_{ik}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$+$$ \sum_j \sum_k [z_{0j}z_{0k}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$
  
-따라서 두번째 항은 가우스 담금질 랜덤 변수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다.+그러므로 두번째 항은 가우스 담금질 랜덤 변수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이러한 결과들을 가지고서, $m_i = \tanh \left(\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} \right)$를 $z$의 분포에 대해서 평균을 내리면+이러한 결과들을 가지고서, $m_0 = \tanh \left(\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \right)$를 $z$의 분포에 대해서 평균을 내리면
  
-$$ m= \int \text{D}z \tanh \beta (J_0 m + J\sqrt{q}z) $$+$$ m= \int \text{D}z \tanh (\beta J_0 m + \beta J\sqrt{q}z) $$
 의 결과를 얻고, 이는 '복제 대칭 해'에 대해서 설명된 게시글에서 확인된 식과 같다. 의 결과를 얻고, 이는 '복제 대칭 해'에 대해서 설명된 게시글에서 확인된 식과 같다.
  
Line 305: Line 306:
  
 Gino Del Ferraro, Chuang Wang, Dani Martí, and Marc Mézard, Cavity Method: Message Passing from a Physics Perspective, 2014. Gino Del Ferraro, Chuang Wang, Dani Martí, and Marc Mézard, Cavity Method: Message Passing from a Physics Perspective, 2014.
 +
 +Marc Mézard, Giorgio Parisi, and Miguel Ángel Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond, 1987.
  
  • 물리/tap_방정식.1684252461.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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