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--- 물리:tap_방정식 [2023/07/01 16:33] – minwoo
+++ 물리:tap_방정식 [2023/09/07 07:01] (current) – minwoo
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 ====== 공동 방법(cavity method) ======
-TAP(Thouless-Anderson-Palmercavity)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.
+TAP(Thouless-Anderson-Palmer)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.
 $$ \\ $$
-기본적인 개념은 Bethe와 Peierls가 도입한 근사(Bethe-Peierls approximation)로 설명되며, 이는
+기본적인 아이디어는, $N$개의 스핀(spin)으로 이루어진 계에서 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화 시키면서도
-$N$개의 스핀 사이의 상호작용을 고려해야 하는 원래의 문제를 '유한한 크기의 클러스터'의 문제로 줄이는 아이디어이다.
+그러한 두 계에서 얻는 관측 가능량(observables)이 '열역학적 극한'에서 차이가 없어야 한다는 점을 이용하는 것이다.
 $$ \\ $$
-==== 국소장 $\tilde{h}_j$과 공동장 $\tilde{h}_{j＼i}$ ====
+==== 국소장 $\tilde{h}_0$ ====
-위에서 언급한 '클러스터'란 아래와 같이 유한한 스핀들로 이루어진 집합이다.
+관측 가능량 중 하나로서 '국소적 자화량(local magnetization)'을 $m_0 = \langle S_0 \rangle$라고 표기한다면, 이는 한 곳에 대한 열적 평균(thermal average)을 내린 값이다.
-{{:물리:cavity_field1.png?250|}}
-위의 그림에서 볼 수 있듯이, 상호작용을 고려할 클러스터는 $i$로 표시한 스핀 $S_i$와 그의 가장 가까운 이웃(nearest neighbor)으로 구성되어 있다.
-원래라면 이러한 클러스터 위의 상호작용을 계산하여 얻은 물리적인 결과가 기존의 $N$개 스핀을 모두 고려하여 얻는 결과에 적절히 상응할 수 없겠지만,
-국소장(local field) 및 공동장(cavity field)를 정의한다면 공동 방법의 기본 원리를 기술할 수 있다.
-우선 국소장은 아래와 같은 식으로 표현된다.
-$$ \tilde{h}_i = \sum_{k} J_{ik}S_k $$
-즉, 이는 스핀 $S_i$에 그의 이웃인 스핀 $S_k$들이 영향을 미치는 장(field)이다.
-이때, 공동장은 아래의 그림과 같이
-{{:물리:cavity_field2.png?250|}}
-$S_i$의 이웃인 $S_j$에 대해 $\tilde{h}_{j＼i}$를 '$S_i$를 제외한' $S_j$의 나머지 가장 가까운 이웃들에 의해서 받는 장(상호작용)으로 정의할 수 있다.
 $$ \\ $$
-따라서, 우리가 $\tilde{h}_{j＼i}$의 형태를 정확히 알 수 없더라도
+이때, 원래 $N$개의 스핀으로 이루어진 게에 $S_0$를 추가하는 상황을 생각해보자.
-이러한 '공동장'을 도입하면 'Bethe-Peierls 근사'에 의해 무시된 나머지 스핀들의 정보를 계산에 포함시키는 것이 가능하다.
+($S_0$는 위치 $0$에 추가된 스핀을 의미하는 관습적인 표기법이다.)
-$$ \\ $$
+그에 따라 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화하였다. 그의 국소적 자화량은 $m_0=\langle S_0 \rangle$이다.
-$\tilde{h}_{j＼i}$를 '공동'장('cavity' field)이라고 부르는 이유는, '(스핀 $S_j$의 관점에서) $S_i$가 제거된 계'에 대해 $S_j$가 받는 국소장을 계산한 것이기 때문이다.
-(앞선 그림에서 '$S_i$를 감싸는 공동'을 생각하면 더 직관적인 용어로 이해될 수 있다. 그 경우 $J_{ij}=0$이다.)
 $$ \\ $$
-이때, 관측 가능량 중 하나로서 '국소적 자화량(local magnetization)'을 $m_i = \langle S_i \rangle$라고 표기한다면
-이는 어떠한 클러스터 중심에 위치한 스핀 $S_i$의 열적 평균(thermal average) 값이다.
 이번 글에서의 최종 목표는, 이러한 국소적 자화량이 TAP 방정식을 만족함을 보이는 것이다.
-$$ \\ $$
 이어지는 논의에서는 편의상 외부 자기장은 없다고 하여 그에 따라 $h_i=0$이라고 하자.
 $$ \\ $$
-국소적 자화량에 대한 평균인 $\langle S_i \rangle$을 얻기 위해서는, 국소적 스핀에 대한 분포함수 $P_i(S_i)$를 얻으면 되는데
+국소적 자화량에 대한 평균인 $\langle S_0 \rangle$을 얻기 위해서는, 국소적 스핀에 대한 분포함수 $P(S_0)$를 얻으면 되는데
-이를 구하기 위해서 앞서 언급한 국소장(local field) $ \tilde{h}_i = \sum_{k} J_{ik}S_k $을 먼저 고려하자.
+이를 구하기 위해서는 아래의 국소장(local field)을 먼저 고려해야 한다.
+$$ \tilde{h}_0 = \sum_{j} J_{0j}S_j $$
-그리고 $S_i$와 $\tilde{h}_i $의 결합 분포(joint distribution)는 다음과 같이 표현될 것이다.
+왜냐하면 스핀 $S_0$가 추가되므로 그의 이웃인 스핀 $S_j$들의 상호작용을 고려해야 한다.
-$$ P(S_i, \tilde{h}_i ) \propto e^{\beta \tilde{h}_i S_i}P(\tilde{h}_j ＼ S_i)$$
+따라서 $S_0$와 $\tilde{h}_0 $의 결합 분포(joint distribution) $P(S_0,\tilde{h}_0)$를 구한 후에, 그를 통해 $S_0$와 $\tilde{h}_0$의 열적 평균 값을 구하면 될 것이다.
-$P(\tilde{h}_j ＼ S_i)$는 '$S_i$가 계로부터 제거되었을 때'에 해당하는 $ \tilde{h}_j$의 분포이며 $j$는 클러스터 내의 임의의 스핀을 가리키는 인덱스이다.
+$$ \\ $$
+$S_0$에 의해 스핀 $N$개에서 $N+1$개로 변한다면, 에너지 $E^{(N)}$에서 $E^{(N+1)}$로 다음과 같이 변한다.
+$$ S_0 = 1 , \quad E^{(N+1)}=E^{(N)}-\beta \tilde{h}_0 \\
+S_0 = -1 , \quad E^{(N+1)}=E^{(N)}+\beta \tilde{h}_0
+$$
 $$ \\ $$
-직관적인 이해를 위해서 앞서 언급한 그림을 다시 살펴보자면, 위의 식을 보다 원활하게 설명할 수 있다.
+즉, 우리가 구하고자 하는 $P(S_0,\tilde{h}_0)$는 다음과 같이 표현될 것이다.
-{{:물리:cavity_field2.png?200|}}
+$$ P(S_0,\tilde{h}_0) \propto  \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$$
-즉, 어떠한 $S_i$를 중심으로 정의된 클러스터의 '전체적인 결합 확률분포' ($P(S_i,\tilde{h}_i)$)는
+여기에서 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 $S_0$가 식에 포함되지 않은 확률 분포를 말한다.
-'이웃 스핀 $S_j$의 공동장($\tilde{h}_j$)의 확률 분포'와 $S_i$가 느끼는 국소장($\tilde{h}_i$)의 확률 분포를 곱한 것이다.
+더 자세하게 표현하자면, $P(\tilde{h}_0＼S_0)$는 ($S_0$가 아닌) $\tilde{h}_0$에 대한 확률 분포의 식이며, $e^{\beta \tilde{h}_0 S_0}$은 $N+1$의 계를 기술하기 위해 $P(\tilde{h}_0＼S_0)$에 포함되었다.
-($S_i$, $\tilde{h}_i$에 대한 확률 분포는 볼츠만 인자로 주어진 것이다.)
+이제 $ P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 식을 나타낼 수 있다면, 공동 방법(cavity method)의 기본적인 아이디어를 통해서 'TAP 방정식'을 얻는 것이 가능하다.
 $$ \\ $$
-이제, 우리가 구하고자 하는 $P_i(S_i)$는 다음과 같이 표현될 것이다.
+==== $P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$ ====
-$$ P_i(S_i) \propto \int d \tilde{h}_i \ e^{\beta \tilde{h}_i S_i} P(\tilde{h}_j ＼S_i)$$
+만약 격자 구조가 아래와 같은 베테 격자(Bethe lattice) 구조라면,
-따라서 $ P(\tilde{h}_i ＼S_i)$의 식을 얻을 수 있다면, 공동 방법(cavity method)의 기본적인 아이디어를 통해서 'TAP 방정식'을 얻는 것이 가능하다.
+{{:물리:tap_bethe_edited.png?300|}}
-$$ \\ $$
-==== $P(\tilde{h}_i ＼S_i)$ ====
-만약 격자 구조가 아래와 같은 베테 격자(Bethe lattice) 구조라면,
+$P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$에 대해 '중심 극한 정리(central limit theorem)'를 적용할 수 있다.
-{{:물리:tap_bethe.png?300|}}
+왜냐하면 위치 $0$의 $S_0$에 연결된 각각의 이웃 위치 $j$에 대한 $J_{0j}S_j$는 '$S_0$의 정보가 제외된다면' 서로 독립적이기 때문이다.
+(위의 베테 격자 그림에서 $S_0$를 감싸는 '공동(cavity)'을 생각하고 마치 $S_0$가 없는 상황을 떠올리면 보다 이해하기 쉽다.
-우리가 위의 그림에서 이해한 방식에 의하면 $P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$에 대해 '중심 극한 정리(central limit theorem)'를 적용할 수 있다.
+그 상황에서 스핀의 개수는 $N$개 이다.)
-왜냐하면 스핀이 제거됨과 동시에 각각의 $J_{ij}S_j$가 독립적(independent)으로 분리되는 성질이 있기 때문이다.
 $$ \\ $$
+이때, 서로 다른 위치에 대한 상관관계(correlation)가 약한 '셰링턴-커크패트릭 모형'에 대해서도 이러한 가정을 도입할 수 있다고 하자.
-여기에서, 서로 다른 위치에 대한 상관관계(correlation)가 약한 '셰링턴-커크패트릭 모형'에 대해서도 이러한 가정을 도입할 수 있다고 하자.
-즉, 독립적이고 동일하게 분포된(independent and identically distributed) $J_{ij}S_j$에 대해서
+즉, 독립적이고 동일하게 분포된(independent and identically distributed) $J_{0j}S_j$에 대해서
-$S_i$가 제거된 경우의 '공동 장(cavity field)'인 $\tilde{h}_i$의 분포는 ($N$이 증가함에 따라) 가우스 분포(Gaussian distribution)인 것을 알 수 있다.
+$S_0$가 식에 포함되지 않는 $\tilde{h}_0$의 분포는 ($N$이 증가함에 따라) 가우스 분포(Gaussian distribution)인 것을 알 수 있다.
 $$ \\ $$
 즉, 다음과 같은 형태로 표현 가능하다.
-$$ P(\tilde{h}_i ＼ S_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i}\right]$$
+$$ P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]$$
-위의 식에서 $V_i$는 국소장의 분산(variance)이다.
+위의 식에서 $V_0$는 국소장의 분산(variance)이다.
-분산 $V_i$를 식으로 표현하면 아래와 같다.
+분산 $V_0$를 식으로 표현하면 아래와 같다.
 $$
 \begin{align}
-V_i &= \langle (\tilde{h}_i)^2\rangle - \langle
+V_0 &= \langle (\tilde{h}_0)^2\rangle - \langle
-\tilde{h}_i \rangle ^2
+\tilde{h}_0 \rangle ^2
 \\
-&=\sum_{j,k}J_{ij}J_{ik}(\langle S_jS_k\rangle_{＼i} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼i} \langle S_k\rangle_{＼i}  )
+&=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  )
 \end{align}$$
 $$ \\ $$
-이때, '셰링턴-커크패트릭 모형'의 분포함수를 고려하자.
+이때, '셰링턴-커크패트릭 모형'의 분포함수에 주목하자.
 $$ P(J_{ij}) = \frac{1}{J}\sqrt{\frac{N}{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{N}{2J^2}\left( J_{ij} - \frac{J_0}{N} \right)^2 \right\} $$
-위의 식으로부터 $J_{ij}$의 기댓값은 $\frac{J_0}{N}$이며 분산은 $\frac{J^2}{N}$임을 알 수 있다.
+위의 식으로부터 $J_{0j}$의 기댓값은 $\frac{J_0}{N}$이며 분산은 $\frac{J^2}{N}$임을 알 수 있다.
-따라서 $N \to \infty$인 경우에는 $V_i=\sum_{j,k}J_{ij}J_{ik}(\langle S_jS_k\rangle_{＼i} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼i} \langle S_k\rangle_{＼i}  )$의 식에서 $j=k$인 경우만이 살아남는다는 것을 알 수 있다.
+또한 $V_0$를 계산할 때, $N(N-1)$개의 서로 상관관계가 없고 (uncorrelated) 무작위적으로 부호를 갖는 (randomly signed) $j\ne k$의 항들의 합은 열역학적 극한인 $N \to \infty$에서 $0$이 된다.
+따라서 $N \to \infty$인 경우에는 $V_0=\sum_{j,k}J_{0j}J_{0k}(\langle S_jS_k\rangle_{＼0} \ \ - \ \langle S_j\rangle_{＼0} \langle S_k\rangle_{＼0}  )$의 식에서 $j=k$인 경우만이 살아남는다는 것을 알 수 있다.
 그 결과는 다음과 같이 표현 된다.
-$$ V_i \approx \sum_j J_{ij}^2(1-\langle S_j \rangle^2 _{＼i} \approx \sum_j J_{ij}^2(1-\langle S_j \rangle^2 = \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2) $$
+$$ V_0 \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 _{＼0} \approx \sum_j J_{0j}^2(1-\langle S_j \rangle^2 = \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2) $$
-이와 같이 국소장의 분산 $V_i$을 얻었으므로 $ P_i(S_i) \propto \int d \tilde{h}_i \ e^{\beta \tilde{h}_i S_i} P(\tilde{h}_i ＼S_i)$의 관계를 이용하여 $m_i$를 구하면 된다.
+이와 같이 국소장의 분산 $V_0$을 얻었으므로 $ P(S_0) \propto \int d \tilde{h}_0 \ e^{\beta \tilde{h}_0 S_0} P(\tilde{h}_0 ＼S_0)$의 관계를 이용하여 $m_0$를 구하면 된다.
 $$ \\ $$
-==== $m_i$ ====
+==== $m_0$ ====
-$S_i$는 $1$ 또는 $-1$의 이산적인 값을 가지므로, $m_i$를 다음과 같이
-분배함수를 포함한 대각합(trace, $\text{Tr}$)으로 계산할 수 있다.
-$$m_i= \sum_{S_i=\pm1} \frac{P(S_i)}{P(S_i=1)+P(S_i=-1)}S_i$$
-이때, 위에서 설명한 식에 따라서 $P(S_i)$는 다음과 같이 표현된다.
+위에서 설명한 식에 따라서 $P(S_0)$는 다음과 같이 표현된다.
 $$
 \begin{align}
-P(S_i) & \propto \int d \tilde{h}_i \ \exp[{\beta \tilde{h}_i S_i}] P(\tilde{h}_i ＼S_i) \\
+P(S_0) & \propto \int d \tilde{h}_0 \ \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] P(\tilde{h}_0 ＼S_0) \\
-& = \int d\tilde{h}_i \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp[{\beta \tilde{h}_i S_i}] \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i}\right]\\
+& = \int d\tilde{h}_0 \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp[{\beta \tilde{h}_0 S_0}] \exp \left[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0}\right]\\
-& = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\left[-\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i} +\beta \tilde{h}_i S_i \right] \\
+& = \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\left[-\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta \tilde{h}_0 S_0 \right] \\
-&= \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\left(\tilde{h}_i^2 -2\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 -2V_i\beta S_i \tilde{h}_i \right) \Biggr]\\
+&= \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\left(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 -2V_0\beta S_0 \tilde{h}_0 \right) \Biggr]\\
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl(\tilde{h}_i^2 -2\tilde{h}_i(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)  \\
+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl(\tilde{h}_0^2 -2\tilde{h}_0(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)  \\
-&\qquad \qquad +(\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2-(\tilde{h}_i\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr) \Biggr]\\
+&\qquad \qquad +(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2-(\tilde{h}_0\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr) \Biggr]\\
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \int  d\tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\
+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \int  d\tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
-&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr]\\
+&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}}\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr] \sqrt{2\pi V_i}) \\
+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}}\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \sqrt{2\pi V_0}) \\
-&=\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr] \\
+&=\exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr] \\
-&=\exp\Biggl[ \frac{1}{2V_i}\Bigl( 2 \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}V_i\beta S_i  +(V_i\beta S_i)^2  \Bigr)\Biggr] \\
+&=\exp\Biggl[ \frac{1}{2V_0}\Bigl( 2 \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}V_0\beta S_0  +(V_0\beta S_0)^2  \Bigr)\Biggr] \\
-&=\exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr]
+&=\exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]
 \end{align}$$
-이제 $P(S_i)$가 $\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] $에 비례한다는 것을 얻었으므로, 아래와 같이 $m_i$룰 계산하자.
+이제 $P(S_0)$가 $\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $에 비례한다는 것을 얻었으므로, 아래와 같이 $m_0$룰 계산하자.
 $$
 \begin{align}
-m_i &= \sum_{S_i=\pm 1} \frac{1}{[\exp[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} \ + \exp[-\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]]} S_i\exp\bigl[ \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\bigr] \\
+m_0 &= \sum_{S_0=\pm 1} \frac{1}{[\exp[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \ + \exp[-\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]]} S_0\exp\bigl[ \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\bigr] \\
-&=\tanh[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]
+&=\tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]
 \end{align}
 $$
-여기서 $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$의 식을 얻으면 $m_i$를 온전히 표현할 수 있다.
+여기에서 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$라고 함은 스핀 $N$개에 대한 $\tilde{h}_0$의 평균값이다.
+그러므로 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$의 식을, 스핀 $N+1$개에 대한 $\langle \tilde{h_0}\rangle$에 대해서 얻으면 $m_0$를 온전히 표현할 수 있다.
 $$ \\ $$
-이때, $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$이 아닌 $\langle \tilde{h_i} \rangle$ 로서 '$S_i$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_i$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.
+$\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$이 아닌 $\langle \tilde{h_0}\rangle$ 로서 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_0$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.
-$$ \langle \tilde{h}_i \rangle =
+$$ \langle \tilde{h}_0 \rangle =
-\text{Tr}_{S_i} \int d\tilde{h}_i \tilde{h}_i P(S_i,\tilde{h}_i) $$
+\text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 P(S_0,\tilde{h}_0) $$
-여기에서 (앞서 살펴본) $P(S_i,\tilde{h}_i) \propto e^{\beta\tilde{h}_i S_i}P(\tilde{h}_i ＼ S_i)$를 이용하면
+여기에서 (앞서 살펴본) $P(S_0,\tilde{h}_0) \propto e^{\beta\tilde{h}_0 S_0}P(\tilde{h}_0 ＼ S_0)$를 이용하면
-다음과 같은 과정에 의해서 $\langle \tilde{h_i} \rangle$와 $\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}$에 대한 관계식을 얻는다.
+다음과 같은 과정에 의해서 $\langle \tilde{h_0}\rangle$와 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$에 대한 관계식을 얻는다.
 $$
 \begin{align}
-\langle \tilde{h}_i \rangle &\propto \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \ \text{Tr}_{S_i} \int d\tilde{h}_i \tilde{h}_i\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_i - \langle \tilde{h}_i\rangle _{＼i})^2}{2V_i} +\beta\tilde{h}_i S_i \Biggr]\\
+\langle \tilde{h}_0 \rangle &\propto \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \ \text{Tr}_{S_0} \int d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0\exp \Biggl[ -\frac{(\tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0\rangle _{＼0})^2}{2V_0} +\beta\tilde{h}_0 S_0 \Biggr]\\
-&=  \frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \text{Tr}_{S_i}  \int  d\tilde{h}_i \tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\
+&=  \frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \text{Tr}_{S_0}  \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
-&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_i}\Bigl(-( \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i) ^2 +\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}^2 \Bigr)\Biggr]\\
+&\qquad \qquad \qquad × \exp\Biggl[-\frac{1}{2V_0}\Bigl(-( \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0) ^2 +\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}^2 \Bigr)\Biggr]\\
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right] × \\
+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] × \\
-&\text{Tr}_{S_i} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] \int  d\tilde{h}_i \tilde{h}_i \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\
+&\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] \int  d\tilde{h}_0 \tilde{h}_0 \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
-&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_i}} \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right] ×\\
+&=\frac{1}{\sqrt{2\pi V_0}} \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right] ×\\
-&\text{Tr}_{S_i}\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr]  \int  d\tilde{h}_i \Bigl(  \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i \Bigr) \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_i}\Bigl( \tilde{h}_i -(\langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i)\Bigr)^2\Biggr]\\
+&\text{Tr}_{S_0}\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \int  d\tilde{h}_0 \Bigl(  \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \exp\Biggl[ -\frac{1}{2V_0}\Bigl( \tilde{h}_0 -(\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}+V_0\beta S_0)\Bigr)^2\Biggr]\\
-&= \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\text{Tr}_{S_i} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr]  \Bigl(\langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta S_i \Bigr) \\
+&= \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\text{Tr}_{S_0} \exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr]  \Bigl(\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta S_0 \Bigr) \\
-&=  \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta \langle S_i \rangle
+&=  \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle
 \end{align}
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 $$
 \begin{align}
-\therefore  \langle \tilde{h_i}  \rangle &= \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta \langle S_i \rangle \\
+\therefore  \langle \tilde{h_0} \rangle &= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta \langle S_0 \rangle \\
-&= \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta m_i
+&= \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0
 \end{align}$$
 위의 유도 과정에서는 앞서서 계산한 적분 결과를 곧바로 사용하였고,
-$P(S_i) \propto \exp\left[\frac{1}{2V_i}(V_i\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} S_i\Bigr] $임을 적용하여 관계식을 등호로 바꿀 수 있었다.
+$P(S_0) \propto \exp\left[\frac{1}{2V_0}(V_0\beta)^2 \right]\exp\Bigl[    \beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} S_0\Bigr] $임을 적용하여 관계식을 등호로 바꿀 수 있었다.
 $$ \\ $$
-이때 '$S_i$를 제외 시키지 않은' 경우에 해당하는 국소장의 기댓값은 $\langle \tilde{h_i} \rangle=\sum_j J_{ij} m_j$이므로
+이때 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우에 해당하는 국소장의 기댓값은 $\langle \tilde{h_0}\rangle=\sum_j J_{0j} m_j$이므로
-앞서 얻었던 식인 $m_i = \tanh[\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i}]$은, 결론적으로 아래와 같다.
+앞서 얻었던 식인 $m_0 = \tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]$은, 결론적으로 아래와 같다.
 \begin{align}
-m_i &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_i}  \rangle - V_i\beta m_i \right)\right] \\
+m_0 &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_0} \rangle - V_0\beta m_0 \right)\right] \\
-&=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{ij} m_j -\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i \right)\right]
+&=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j^2)m_0 \right)\right]
 \end{align}
+위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다. $S_0$가 포함 되었으므로, 스핀 $N+1$개에 대한 계를 기술한다.
-위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다.
 $$ \\ $$
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 그러나, 저온의 영역에서는  $N \to \infty$에서도 $j,k$에 대해서 $(\langle S_j S_k\rangle - \langle S_j \rangle \langle S_k \rangle)$가 유한한 값을 가지므로
-TAP 방정식이 정확히 옳은 결과를 주지는 못한다.
+TAP 방정식이 정확히 옳은 결과를 주지 못한다.
 $$ \\ $$
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 TAP 방정식인 다음의 식을 다시 살펴보면
-$$ m_i =  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{ij} m_j -\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i \right)\right]$$
+$$ m_0 =  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0 \right)\right]$$
-$-\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i   $의 항은 마치 '추가로 붙게 된 항'처럼 보인다.
+$-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항은 마치 '추가로 붙게 된 항'처럼 보인다.
 사실, 이 항은 '상쇄'의 역할을 하며 중요한 의미를 갖는다.
 $$ \\ $$
-자화량 $m_i$는 $j$의 위치에, '내부장(internal field)' $J_{ij}m_i$만큼의 영향을 준다.
+자화량 $m_0$는 $j$의 위치에, '내부장(internal field)' $J_{0j}m_0$만큼의 영향을 준다.
-그에 따라, 위치 $j$의 자화량 $m_j$는 $\chi_{jj}J_{ij}m_i$만큼 변하게 된다. $\chi_{jj}$는 다음과 같다.
+그에 따라, 위치 $j$의 자화량 $m_j$는 $\chi_{jj}J_{0j}m_0$만큼 변하게 된다. $\chi_{jj}$는 다음과 같다.
 $$ \chi_{jj} = \frac{\partial m_j}{\partial h_j} \Biggl|_{h_j \to 0}=\beta(1-m_j^2)$$
-($\chi$가 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며, 그 값은 앞서 분산 $V_i$를 구할 때와 마찬가지의 방식으로 구할 수 있다.)
+($\chi$가 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며, 그 값은 앞서 분산 $V_0$를 구할 때와 마찬가지의 방식으로 구할 수 있다.)
 $$ \\ $$
-이때, 이렇게 변화한 $m_j$의 값에 의해서 $m_i$가 다시 영향을 받게 되는 값은 다음과 같다.
+이때, 이렇게 변화한 $m_j$의 값에 의해서 $m_0$가 다시 영향을 받게 되는 값은 다음과 같다.
-$$ J_{ij} \chi_{jj}J_{ij}m_i = \beta J_{ij}^2(1-m_j)^2 m_i$$
+$$ J_{0j} (\chi_{jj}J_{0j}m_0) = \beta J_{0j}^2(1-m_j^2 )m_0$$
-그런데 이것을 발생시킨 $m_j$의 변화는 $m_i$에 의한 것이므로, 이러한 항의 효과는 제거해주어야 한다.
+그런데 이것을 발생시킨 $m_j$의 변화는 $m_0$에 의한 것이므로, 이러한 항의 효과는 제거해주어야 한다.
 $$ \\ $$
-TAP 방정식에서 $-\beta \sum_j J_{ij}^2 (1-m_j ^2)m_i   $의 항이 해당 역할을 적절하게 수행하므로,
+TAP 방정식에서 $-\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j ^2)m_0   $의 항이 해당 역할을 적절하게 수행하므로,
 'Onsager의 반응장(reaction field)'으로 불린다.
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 우리가 [[물리:복제_대칭_해|복제_대칭_해]]에서 살펴본 결과는 TAP 방정식을 이용해서도 유도가 가능하다.
-우선, 상호작용인 $J_{ij}$를 강자성(ferromagnetic)에 대한 항과 난수(random)로 표현되는 항으로 분리하여 아래와 같이 나타내자.
+우선, 상호작용인 $J_{0j}$를 강자성(ferromagnetic)에 대한 항과 난수(random)로 표현되는 항으로 분리하여 아래와 같이 나타내자.
-$$ J_{ij} = \frac{J_0}{N} + \frac{J}{\sqrt{N}}z_{ij} $$
+$$ J_{0j} = \frac{J_0}{N} + \frac{J}{\sqrt{N}}z_{0j} $$
-여기에서 $z_{ij}$는 가우스 랜덤 변수(Gaussian random variable)로서 평균이 $0$이며 분산을 $1$로 갖는 변수이다.
+여기에서 $z_{0j}$는 가우스 랜덤 변수(Gaussian random variable)로서 평균이 $0$이며 분산을 $1$로 갖는 변수이다.
-앞서 얻었던 $ \langle \tilde{h_i}  \rangle = \langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}+V_i\beta m_i$의 식에 이를 대입하면 다음과 같다.
+앞서 얻었던 $ \langle \tilde{h_0} \rangle = \langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}+V_0\beta m_0$의 식에 이를 대입하면 다음과 같다.
-$$\langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i} = \frac{J_0}{N}\sum_j m_j + \frac{J}{\sqrt{N}}\sum_j z_{ij}m_j - V_i \beta m_i $$
+$$\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0} = \frac{J_0}{N}\sum_j m_j + \frac{J}{\sqrt{N}}\sum_j z_{0j}m_j - V_0 \beta m_0 $$
 첫번째 항인 $\frac{J_0}{N}\sum_j m_j$는 $J_0 m$과 같으며, $m$은 강자성 질서 맺음 변수(order parameter)이다.
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 세번째 항의 역할은 Onsager의 reaction field에서 살펴본 '공동 보정(cavity correction)'의 효과를 주는 것이므로
-두번째 항의 $ z_{ij}m_j$가 독립적인 '담금질' 랜덤 변수(indepedent 'quenched' random variable)인 것으로 가정할 수 있도록 한다.
+두번째 항의 $ z_{0j}m_j$가 독립적인 '담금질' 랜덤 변수(indepedent 'quenched' random variable)인 것으로 가정할 수 있도록 한다.
 $$ \\ $$
-이를 보다 자세히 설명하자면, $\langle \tilde{h_i}  \rangle_{＼i}$를 표현하는 식의 의미는 '공동 장'의 평균으로서 $S_i$가 제거된 경우를 보는 것이므로
+이를 보다 자세히 설명하자면, $\langle \tilde{h_0} \rangle_{＼0}$를 표현하는 식의 의미는 '공동 장'의 평균으로서 $S_0$가 제거된 경우를 보는 것이므로
 한 위치 $j$로 부터 발생하는 기여분은 또 다른 $j$로 부터 발생하는 기여분과 서로 간섭하지 않는다.
 $$ \\ $$
-따라서 '중심 극한 정리'를 적용할 수 있고, $\sum_j z_{ij}m_j$가 가우스 분포를 따른다고 가정할 수 있다.
+따라서 '중심 극한 정리'를 적용할 수 있고, $\sum_j z_{0j}m_j$가 가우스 분포를 따른다고 가정할 수 있다.
 즉, 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다.
-$$ \sum_j \sum_k [z_{ij}z_{ik}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$
+$$ \sum_j \sum_k [z_{0j}z_{0k}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$
 그러므로 두번째 항은 가우스 담금질 랜덤 변수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다.
 $$ \\ $$
-이러한 결과들을 가지고서, $m_i = \tanh \left(\beta \langle \tilde{h_i} \rangle_{＼i} \right)$를 $z$의 분포에 대해서 평균을 내리면
+이러한 결과들을 가지고서, $m_0 = \tanh \left(\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0} \right)$를 $z$의 분포에 대해서 평균을 내리면
 $$ m= \int \text{D}z \tanh (\beta J_0 m + \beta J\sqrt{q}z) $$
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 Gino Del Ferraro, Chuang Wang, Dani Martí, and Marc Mézard, Cavity Method: Message Passing from a Physics Perspective, 2014.
-S. N. Dorogovtsev, A. V. Goltsev, and J. F. F. Mendes, Critical phenomena in complex networks, 2008.
+Marc Mézard, Giorgio Parisi, and Miguel Ángel Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond, 1987.