물리:tap_방정식

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물리:tap_방정식 [2023/07/08 16:56] – minwoo물리:tap_방정식 [2023/09/07 07:01] (current) – minwoo
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 ====== 공동 방법(cavity method) ====== ====== 공동 방법(cavity method) ======
  
-TAP(Thouless-Anderson-Palmercavity)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.+TAP(Thouless-Anderson-Palmer)방정식은 '[[물리:셰링턴-커크패트릭 모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]'에 대해서 공동 방법(cavity method)으로 유도할 수 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 19: Line 19:
  
 그에 따라 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화하였다. 그의 국소적 자화량은 $m_0=\langle S_0 \rangle$이다. 그에 따라 $N+1$개의 스핀으로 이루어진 계로 변화하였다. 그의 국소적 자화량은 $m_0=\langle S_0 \rangle$이다.
- 
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 69: Line 68:
 왜냐하면 위치 $0$의 $S_0$에 연결된 각각의 이웃 위치 $j$에 대한 $J_{0j}S_j$는 '$S_0$의 정보가 제외된다면' 서로 독립적이기 때문이다.  왜냐하면 위치 $0$의 $S_0$에 연결된 각각의 이웃 위치 $j$에 대한 $J_{0j}S_j$는 '$S_0$의 정보가 제외된다면' 서로 독립적이기 때문이다. 
  
-(위의 베테 격자 그림에서 $S_0$를 감싸는 '공동(cavity)'을 생각해보면 보다 이해하기 쉽다.)+(위의 베테 격자 그림에서 $S_0$를 감싸는 '공동(cavity)'을 생각하고 마치 $S_0$가 없는 상황을 떠올리면 보다 이해하기 쉽다. 
 + 
 +그 상황에서 스핀의 개수는 $N$개 이다.)
  
  
Line 154: Line 155:
 $$ $$
  
-여기서 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$의 식을 얻으면 $m_0$를 온전히 표현할 수 있다.+여기에서 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$라고 함은 스핀 $N$개에 대한 $\tilde{h}_0$의 평균값이다. 
 + 
 +그러므로 $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$의 식을, 스핀 $N+1$개에 대한 $\langle \tilde{h_0}\rangle$에 대해서 얻으면 $m_0$를 온전히 표현할 수 있다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-이때, $\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$이 아닌 $\langle \tilde{h_0}\rangle$ 로서 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_0$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.+$\langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}$이 아닌 $\langle \tilde{h_0}\rangle$ 로서 '$S_0$를 제외 시키지 않은' 경우의 $\tilde{h}_0$의 기대값은 다음과 같이 쓸 수 있다.
  
 $$ \langle \tilde{h}_0 \rangle = $$ \langle \tilde{h}_0 \rangle =
Line 203: Line 206:
 앞서 얻었던 식인 $m_0 = \tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]$은, 결론적으로 아래와 같다. 앞서 얻었던 식인 $m_0 = \tanh[\beta \langle \tilde{h_0}\rangle_{＼0}]$은, 결론적으로 아래와 같다.
  
-$$+
 \begin{align} \begin{align}
 m_0 &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_0} \rangle - V_0\beta m_0 \right)\right] \\ m_0 &=  \tanh\left[\beta \left( \langle \tilde{h_0} \rangle - V_0\beta m_0 \right)\right] \\
 &=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j^2)m_0 \right)\right] &=  \tanh\left[\beta \left( \sum_j J_{0j} m_j -\beta \sum_j J_{0j}^2 (1-m_j^2)m_0 \right)\right]
 \end{align} \end{align}
-$$ 
  
-위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다.+위의 유도 결과는 TAP 방정식이라고 불린다. $S_0$가 포함 되었으므로, 스핀 $N+1$개에 대한 계를 기술한다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 289: Line 291:
 즉, 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다. 즉, 평균은 $0$이고, 그에 따라 분산은 다음과 같이 표현된다.
  
-$$ \sum_j \sum_k [z_{0j}z_{ik}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$+$$ \sum_j \sum_k [z_{0j}z_{0k}]m_j m_k = \sum_j m_j^2 = N q$$
  
 그러므로 두번째 항은 가우스 담금질 랜덤 변수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다. 그러므로 두번째 항은 가우스 담금질 랜덤 변수 $z$를 이용하여 $\sqrt{Nq}z$로서 표현이 가능하다.
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