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--- 물리:tap_방정식 [2026/09/30 18:14] – [비선형 감수율] admin
+++ 물리:tap_방정식 [2026/10/02 22:04] (current) – [비선형 감수율] admin
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 $$ \\ $$
-==== 에드워즈-앤더슨 질서 변수 ====
-$N+1$개의 스핀이 있는 계에 대해 다음 질서 변수를 계산해보자:
-\[q = \overline{\langle s_0 \rangle^2} = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} \]
-여기에서 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus 0} = \sum_{i=1}^N J_{0i} \langle s_i \rangle_{\setminus 0}$는 $s_0$ 없이 $N$개의 스핀만 있을 때의 공동 장의 평균을 간단히 표기한 것이다. 무질서 평균을 취하면, 결합상수들의 평균이 $0$이므로 아래 결과를 얻는다:
-\[ \overline{h} = \sum_i \overline{J_{0i} \langle s_i \rangle_{\setminus 0}} = 0.\]
-제곱을 해서 무질서 평균을 취하면 아래 이중합에서 $i=j$인 항들만 주로 기여하고 나머지는 자기들끼리 상쇄되므로
-\[ \overline{h^2} = \sum_{i,j} \overline{J_{0i} J_{0j} \langle s_i \rangle_{\setminus 0} \langle s_j \rangle_{\setminus 0}} \approx \frac{1}{N} \sum_i \overline{\langle s_i \rangle^2_{\setminus 0}} = q. \]
-이렇게 따져보면 무질서의 샘플들로부터 보았을 때 $h$가 분산 $q$인 가우스 분포를 따름을 알 수 있다. 따라서
-\[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \]
-==== 비선형 감수율 ====
-두 개의 스핀 $s_0$와 $s_{0'}$을 계에 추가해보자. $N+2$개의 스핀을 가지는 계의 확률분포는
-\[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \]
-로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다. 우리는 $N\to \infty$에서 유한한 값으로 수렴하는 다음과 같은 비선형 감수율의 표현식을 구하려고 한다:
-\[ \chi_{\text{nl}} \equiv N \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2}. \]
-가정상 괄호 안의 양이 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기이다. $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다:
-\[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \]
-표기를 간단히 하기 위해 원래의 스핀 $N$개만 있을 때에 공동 장을 평균한 값들을 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$과 $h' \equiv \langle \tilde{h}_{0'} \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$으로 적었다.
-일반적으로 상관함수
-\[ \Big\langle \left( \tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle \right) \left( \tilde{h}_{0'} - \langle \tilde{h}_{0'} \rangle \right) \Big\rangle
-= \sum_{i,j} J_{0i} J_{0'j} \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right) \]
-가 가지는 크기는 $i=j$인 $N$개의 항들에 의해 주로 결정되고, 각각의 항의 크기는 $1/N$ 정도인데 부호가 제각각이므로 결국 이 상관함수의 크기는 약 $1/\sqrt{N}$ 정도이다. 따라서 결합확률 안에서 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 상관도를 나타내는 $\epsilon$은 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기를 가지는 값이다.
-추가된 두 개의 스핀까지 고려한 확률분포 함수는 아래와 같다:
-\[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'}, s_0, s_{0'} \right) \propto P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \exp\left[ \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right]. \]
-[[수학:윅의_정리|가우스 함수의 적분]]을 통해 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$을 주변화(marginalization)한다:
-\begin{eqnarray*}
-P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\}
-\end{eqnarray*}
-이 확률분포를 통해 $\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2$을 구하고 $J_{00'}$의 2차까지 전개한 다음 무질서 평균을 취하자. $J_{00'}$의 선형 항은 사라지고, $J_{00'}^2$은 $1/N$이 된다. $1/N$의 크기까지 적으면 그 결과는 이렇게 주어진다:
-\[ \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 \overline{\text{sech}^4 (\beta h) \text{sech}^4 (\beta h')} \left[ \frac{1}{N} + \beta^2 \epsilon^2 (1-q)^4 \right]. \]
-/*
-이로부터 비선형 감수율을 계산하면
-\[ \chi_{\text{nl}} = \frac{\beta^2 A^2}{1-\beta^2 A} \]
-*/
-$A$를 다음과 같은 양으로 정의하자:
-\begin{eqnarray*}
-A &\equiv& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \text{sech}^4 (\beta h)\\
-&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \left[1-\tanh^2 (\beta h) \right]^2\\
-&=& 1 - 2q + r\\
-\end{eqnarray*}
-$h$는 $h'$과 독립이므로
-\begin{eqnarray*}
-N\overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 A^2 + \beta^4 A^2 (1-q)^4.
-\end{eqnarray*}
-/*
-따라서 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 A<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다.
-*/
 ===== TAP 방정식의 가정 =====
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 ===== 복제 대칭 해의 유도 =====
+====자기화====
 우리가 [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에서 살펴본 결과는 TAP 방정식을 이용해서도 유도가 가능하다.
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 $$ m= \int \text{D}z \tanh (\beta J_0 m + \beta J\sqrt{q}z) $$
 의 결과를 얻고, 이는 [[물리:복제_대칭_해|복제 대칭 해]]에 대해서 설명된 식과 같다.
+==== 에드워즈-앤더슨 질서 변수 ====
+$N+1$개의 스핀이 있는 계에 대해 다음 질서 변수를 계산해보자:
+\[q = \overline{\langle s_0 \rangle^2} = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} \]
+여기에서 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus 0} = \sum_{i=1}^N J_{0i} \langle s_i \rangle_{\setminus 0}$는 $s_0$ 없이 $N$개의 스핀만 있을 때의 공동 장의 평균을 간단히 표기한 것이다. 무질서 평균을 취하면, 결합상수들의 평균이 $0$이므로 아래 결과를 얻는다:
+\[ \overline{h} = \sum_i \overline{J_{0i} \langle s_i \rangle_{\setminus 0}} = 0.\]
+제곱을 해서 무질서 평균을 취하면 아래 이중합에서 $i=j$인 항들만 주로 기여하고 나머지는 자기들끼리 상쇄되므로
+\[ \overline{h^2} = \sum_{i,j} \overline{J_{0i} J_{0j} \langle s_i \rangle_{\setminus 0} \langle s_j \rangle_{\setminus 0}} \approx \frac{1}{N} \sum_i \overline{\langle s_i \rangle^2_{\setminus 0}} = q. \]
+이렇게 통계적 모멘트들을 따져보면 무질서의 샘플들로부터 보았을 때 $h$가 분산 $q$인 가우스 분포를 따름을 알 수 있다. 따라서
+\[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \]
+==== 비선형 감수율 ====
+다음의 양을 계산하기 위해
+\[ \chi_\text{nl} = \frac{\beta^2}{N} \sum_{i,j} \overline{\left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right)^2} \]
+국소적인 감수율인 다음의 양을 고려하도록 하자:
+\[ \chi_{ij} = \beta \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right). \]
+[[물리:요동-흩어지기 정리|]]에 의하면 이 양은 $\chi_{ij} = dm_i / dh_j = \chi_{ji}$로도 쓸 수 있으며, $h_i$는 $s_i$의 위치에 아주 작게 걸리는 국소적인 외부 장이다.
+계산을 위해 두 개의 스핀 $s_0$와 $s_{0'}$을 계에 추가해보자. $N+2$개의 스핀을 가지는 계의 확률분포는
+\[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \]
+로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다.
+$\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다:
+\[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \]
+표기를 간단히 하기 위해 원래의 스핀 $N$개만 있을 때에 공동 장을 평균한 값들을 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$과 $h' \equiv \langle \tilde{h}_{0'} \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$으로 적었다.
+일반적으로 상관함수
+\[ \Big\langle \left( \tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle \right) \left( \tilde{h}_{0'} - \langle \tilde{h}_{0'} \rangle \right) \Big\rangle
+= \sum_{i,j} J_{0i} J_{0'j} \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right) \]
+가 가지는 크기는 $i=j$인 $N$개의 항들에 의해 주로 결정되고, 각각의 항의 크기는 $1/N$ 정도인데 부호가 제각각이므로 결국 이 상관함수의 크기는 약 $1/\sqrt{N}$ 정도이다 (크기와 부호는 샘플마다 다르다). 따라서 결합확률 안에서 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 상관도를 나타내는 $\epsilon$은 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기를 가지는 값이다.
+추가된 두 개의 스핀까지 고려한 확률분포 함수는 아래와 같다:
+\[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'}, s_0, s_{0'} \right) \propto P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \exp\left[ \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right]. \]
+[[수학:윅의_정리|가우스 함수의 적분]]을 통해 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$을 주변화(marginalization)한다:
+\begin{eqnarray*}
+P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\}
+\end{eqnarray*}
+이 확률분포를 통해 계산했을 때 다음의 결과를 얻는다:
+\begin{eqnarray*}
+\chi_{00} &=& \beta \left( 1 - \langle s_0 \rangle^2 \right) = \beta \text{ sech}^2 \beta h + O\left(1/\sqrt{N}\right)\\
+\chi_{00'} &=& \beta \left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right) = \underbrace{\beta^2 J_{00'} \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h' + \beta^3 \epsilon (1-q)^2 \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h'}_{O\left(1/\sqrt{N}\right)} + O\left( 1/N \right).
+\end{eqnarray*}
+무질서 평균까지 취했을 때 모든 스핀이 대칭적인 상황에 있으므로 $s_0$가 $s_i$ 역할을 하게끔 놓으면
+\begin{eqnarray*}
+\chi_\text{nl} &=& \frac{1}{N} \sum_{i,j} \overline{ \chi_{ij}^2 }\\
+&\approx& \sum_{i=0}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }\\
+&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }.
+\end{eqnarray*}
+$m_0$가 추가되었을 때 $m_i$의 변화는 다음처럼 기술되고
+\begin{eqnarray*}
+\delta m_i &=& \sum_j \left( \frac{\partial m_i}{\partial h_j} \right) \delta h_j\\
+&\approx& \sum_j \chi_{ij} J_{j0} m_0,
+\end{eqnarray*}
+따라서
+\[ \chi_{i0} \approx \frac{dm_i}{dh_0} = \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00}. \]
+이제 $\chi_\text{nl}$을 적어보자:
+\begin{eqnarray*}
+\chi_\text{nl} &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{\chi_{i0}^2}\\
+&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \left( \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00} \right)^2}\\
+&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j,k} \chi_{ij} \chi_{ik} J_{j0} J_{k0} }\\
+&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2 \frac{1}{N}}\\
+&=& \overline{\chi_{00}^2} + \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2}\\
+&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \sum_{j} \overline{ \chi_{ij}^2} \right)\\
+&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \chi_\text{nl} \right).
+\end{eqnarray*}
+따라서
+\[ \chi_\text{nl} \approx \frac{\overline{\chi_{00}^2}}{1-\overline{\chi_{00}^2}} \approx \frac{\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}{1-\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}. \]
+즉 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다.
 ======구면 $p$-스핀 유리 모형======
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   * Marc Mézard, Giorgio Parisi, and Miguel Ángel Virasoro, //Spin Glass Theory and Beyond//, 1987.
   * A. Barrat, //The p-spin spherical spin glass model//, [[https://arxiv.org/pdf/cond-mat/9701031|cond-mat/9701031]] (1997).
+  * T. Rizzo, //TAP complexity, the cavity method and supersymmetry//, [[https://doi.org/10.1088/0305-4470/38/15/005|J. Phys. A: Math. Gen. 38 3287 (2005)]].