물리:tap_방정식

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물리:tap_방정식 [2026/10/01 14:40] – [복제 대칭 해의 유도] admin물리:tap_방정식 [2026/10/02 22:04] (current) – [비선형 감수율] admin
Line 287: Line 287:
 \[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \] \[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \]
 ==== 비선형 감수율 ==== ==== 비선형 감수율 ====
-두 개의 스핀 $s_0$와 $s_{0'}$을 계에 추가해보자. $N+2$개의 스핀을 가지는 계의 확률분포는+ 
 +다음의 양을 계산하기 위해 
 +\[ \chi_\text{nl} = \frac{\beta^2}{N} \sum_{i,j} \overline{\left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right)^2} \] 
 +국소적인 감수율인 다음의 양을 고려하도록 하자: 
 +\[ \chi_{ij} = \beta \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right). \] 
 +[[물리:요동-흩어지기 정리|]]에 의하면 이 양은 $\chi_{ij} = dm_i / dh_j = \chi_{ji}$로도 쓸 수 있으며, $h_i$는 $s_i$의 위치에 아주 작게 걸리는 국소적인 외부 장이다. 
 + 
 +계산을 위해 두 개의 스핀 $s_0$와 $s_{0'}$을 계에 추가해보자. $N+2$개의 스핀을 가지는 계의 확률분포는
 \[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \] \[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \]
-로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다. 우리는 $N\to \infty$에서 유한한 값으로 수렴하는 다음과 같은 비선형 감수율의 표현식을 구하려고 한다: +로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다. 
-\[ \chi_{\text{nl}} \equiv N \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2}. \] +$\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다:
-가정상 괄호 안의 양이 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기이다. $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다:+
 \[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \] \[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \]
 표기를 간단히 하기 위해 원래의 스핀 $N$개만 있을 때에 공동 장을 평균한 값들을 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$과 $h' \equiv \langle \tilde{h}_{0'} \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$으로 적었다. 표기를 간단히 하기 위해 원래의 스핀 $N$개만 있을 때에 공동 장을 평균한 값들을 $h \equiv \langle \tilde{h}_0 \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$과 $h' \equiv \langle \tilde{h}_{0'} \rangle_{\setminus \left\{0,0'\right\}}$으로 적었다.
Line 298: Line 304:
 \[ \Big\langle \left( \tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle \right) \left( \tilde{h}_{0'} - \langle \tilde{h}_{0'} \rangle \right) \Big\rangle  \[ \Big\langle \left( \tilde{h}_0 - \langle \tilde{h}_0 \rangle \right) \left( \tilde{h}_{0'} - \langle \tilde{h}_{0'} \rangle \right) \Big\rangle 
 = \sum_{i,j} J_{0i} J_{0'j} \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right) \] = \sum_{i,j} J_{0i} J_{0'j} \left( \langle s_i s_j \rangle - \langle s_i \rangle \langle s_j \rangle \right) \]
-가 가지는 크기는 $i=j$인 $N$개의 항들에 의해 주로 결정되고, 각각의 항의 크기는 $1/N$ 정도인데 부호가 제각각이므로 결국 이 상관함수의 크기는 약 $1/\sqrt{N}$ 정도이다. 따라서 결합확률 안에서 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 상관도를 나타내는 $\epsilon$은 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기를 가지는 값이다.+가 가지는 크기는 $i=j$인 $N$개의 항들에 의해 주로 결정되고, 각각의 항의 크기는 $1/N$ 정도인데 부호가 제각각이므로 결국 이 상관함수의 크기는 약 $1/\sqrt{N}$ 정도이다 (크기와 부호는 샘플마다 다르다). 따라서 결합확률 안에서 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 상관도를 나타내는 $\epsilon$은 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기를 가지는 값이다.
  
 추가된 두 개의 스핀까지 고려한 확률분포 함수는 아래와 같다: 추가된 두 개의 스핀까지 고려한 확률분포 함수는 아래와 같다:
Line 306: Line 312:
 P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\} P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\}
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-이 확률분포를 통해 $\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2$을 구하고 $J_{00'}$의 2차까지 전개한 다음 무질서 평균을 취하자. $J_{00'}$의 선형 항은 사라지고, $J_{00'}^2$은 $1/N$이 된다. $1/N$의 크기까지 적으면 그 결과는 이렇게 주어진다: +이 확률분포를 통해 계산했을 때 다음의 결과를 얻는다:
-\[ \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 \overline{\text{sech}^4 (\beta h) \text{sech}^4 (\beta h')} \left[ \frac{1}{N} + \beta^2 \epsilon^2 (1-q)^4 \right]. \] +
-/* +
-이로부터 비선형 감수율을 계산하면 +
-\[ \chi_{\text{nl}} = \frac{\beta^2 A^2}{1-\beta^2 A} \] +
-*/ +
-$A$를 다음과 같은 양으로 정의하자:+
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-A &\equiv& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \text{sech}^4 (\beta h)\\ +\chi_{00} &=& \beta \left( 1 - \langle s_0 \rangle^2 \right) = \beta \text{ sech}^2 \beta h + O\left(1/\sqrt{N}\right)\\ 
-&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \left[1-\tanh^2 (\beta h) \right]^2\\ +\chi_{00'} &=& \beta \left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right) = \underbrace{\beta^2 J_{00'} \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h' + \beta^3 \epsilon (1-q)^2 \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h'}_{O\left(1/\sqrt{N}\right)} + O\left( 1/N \right).
-&=& 1 - 2q + r\\+
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-$h$는 $h'$과 독립이므로+무질서 평균까지 취했을 때 모든 스핀이 대칭적인 상황에 있으므로 $s_0$가 $s_i$ 역할을 하게끔 놓으면
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-N\overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 A^2 + \beta^4 A^2 (1-q)^4.+\chi_\text{nl} &=& \frac{1}{N} \sum_{i,j} \overline{ \chi_{ij}^2 }\\ 
 +&\approx& \sum_{i=0}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }.
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
-/* +$m_0$가 추가되었을 때 $m_i$의 변화는 다음처럼 기술되고 
-따라서 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 A<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다. +\begin{eqnarray*} 
-*/ +\delta m_i &=& \sum_j \left( \frac{\partial m_i}{\partial h_j} \right) \delta h_j\\ 
 +&\approx& \sum_j \chi_{ij} J_{j0} m_0, 
 +\end{eqnarray*} 
 +따라서 
 +\[ \chi_{i0} \approx \frac{dm_i}{dh_0} = \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00}. \] 
 +이제 $\chi_\text{nl}$을 적어보자: 
 +\begin{eqnarray*} 
 +\chi_\text{nl} &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{\chi_{i0}^2}\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \left( \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00} \right)^2}\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j,k} \chi_{ij} \chi_{ik} J_{j0} J_{k0} }\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2 \frac{1}{N}}\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2}\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \sum_{j} \overline{ \chi_{ij}^2} \right)\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \chi_\text{nl} \right). 
 +\end{eqnarray*} 
 +따라서 
 +\[ \chi_\text{nl} \approx \frac{\overline{\chi_{00}^2}}{1-\overline{\chi_{00}^2}} \approx \frac{\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}{1-\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}. \] 
 +즉 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다.
  
 ======구면 $p$-스핀 유리 모형====== ======구면 $p$-스핀 유리 모형======
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