물리:tap_방정식

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물리:tap_방정식 [2026/10/01 15:20] – [비선형 감수율] admin물리:tap_방정식 [2026/10/02 22:04] (current) – [비선형 감수율] admin
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 \[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \] \[ P\left( \vec{s}, s_0, s_{0'}\right) = \exp\left[ -\beta H_N \left(\vec{s}\right) + \beta \tilde{h}_0 s_0 + \beta \tilde{h}_{0'} s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right] \]
 로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다. 로서, $\tilde{h}_0 \equiv \sum_{i=1}^N J_{0i} s_i$이고 $\tilde{h}_{0'} \equiv \sum_{i=1}^N J_{0'i} s_i$이다.
-/*우리는 $N\to \infty$에서 유한한 값으로 수렴하는 다음과 같은 비선형 감수율의 표현식을 구하려고 한다: 
-\[ \chi_{\text{nl}} \equiv N \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2}. \] 
-가정상 괄호 안의 양이 $1/\sqrt{N}$ 정도의 크기이다. 
-*/ 
 $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다: $\tilde{h}_0$와 $\tilde{h}_{0'}$의 결합확률이 다음처럼 주어진다:
 \[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \] \[ P\left( \tilde{h}_0, \tilde{h}_{0'} \right) \propto \exp\left[ - \frac{(\tilde{h}_0 - h)^2}{2(1-q)} - \frac{(\tilde{h}_{0'} - h')^2}{2(1-q)} + \epsilon (\tilde{h}_0 - h) (\tilde{h}_{0'} - h')\right]. \]
Line 316: Line 312:
 P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\} P\left( s_0, s_{0'} \right) &\propto& \exp\left\{ \frac{\beta^2(1-q) \left[ 1-\epsilon(1-q)s_0 s_{0'} \right]}{1-\epsilon^2(1-q)^2} + \beta h s_0 + \beta h' s_{0'} + \beta J_{00'} s_0 s_{0'} \right\}
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-이 확률분포를 통해 계산해보면:+이 확률분포를 통해 계산했을 때 다음의 결과를 얻는다:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-\chi_{00} &=& \beta \left( 1 - \langle s_0 \rangle^2 \right) = \beta \text{sech}^2 \beta h + O\left(N^{-1/2}\right)\\ +\chi_{00} &=& \beta \left( 1 - \langle s_0 \rangle^2 \right) = \beta \text{ sech}^2 \beta h + O\left(1/\sqrt{N}\right)\\ 
-\chi_{00'} &=& \beta \left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)\\+\chi_{00'} &=& \beta \left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right) = \underbrace{\beta^2 J_{00'} \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h' + \beta^3 \epsilon (1-q)^2 \text{ sech}^2 \beta h \text{ sech}^2 \beta h'}_{O\left(1/\sqrt{N}\right)} + O\left( 1/N \right). 
 +\end{eqnarray*} 
 +무질서 평균까지 취했을 때 모든 스핀이 대칭적인 상황에 있으므로 $s_0$가 $s_i$ 역할을 하게끔 놓으면 
 +\begin{eqnarray*} 
 +\chi_\text{nl} &=& \frac{1}{N} \sum_{i,j} \overline{ \chi_{ij}^2 }\\ 
 +&\approx& \sum_{i=0}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }.
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
- +$m_0$가 추가되었을 때 $m_i$의 변화는 다음처럼 기술되고
-/* +
-$J_{00'}$의 선형 항은 사라지고, $J_{00'}^2$은 $1/N$이 된다. $1/N$의 크기까지 적으면 그 결과는 이렇게 주어진다: +
-\[ \overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 \overline{\text{sech}^4 (\beta h) \text{sech}^4 (\beta h')} \left[ \frac{1}{N} + \beta^2 \epsilon^2 (1-q)^4 \right]. \] +
-*/ +
-/* +
-이로부터 비선형 감수율을 계산하면 +
-\[ \chi_{\text{nl}} = \frac{\beta^2 A^2}{1-\beta^2 A} \] +
-*/ +
-/* +
-$A$를 다음과 같은 양으로 정의하자:+
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-A &\equiv& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \text{sech}^4 (\beta h)\\ +\delta m_i &=& \sum_j \left( \frac{\partial m_i}{\partial h_j} \right) \delta h_j\\ 
-&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left(-\frac{h^2}{2q}\right) \left[1-\tanh^2 (\beta h) \right]^2\\ +&\approx& \sum_j \chi_{ij} J_{j0} m_0,
-&=& 1 - 2q + r\\+
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-$h$는 $h'$과 독립이므로+따라서 
 +\[ \chi_{i0} \approx \frac{dm_i}{dh_0} = \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00}. \] 
 +이제 $\chi_\text{nl}$을 적어보자:
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-N\overline{\left( \langle s_0 s_{0'} \rangle - \langle s_0 \rangle \langle s_{0'} \rangle \right)^2} \approx \beta^2 A^2 + \beta^4 A^2 (1-q)^4.+\chi_\text{nl} &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{\chi_{i0}^2}\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \left( \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00} \right)^2}\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j,k} \chi_{ij} \chi_{ik} J_{j0} J_{k0} }\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2 \frac{1}{N}}\\ 
 +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2}\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \sum_{j} \overline{ \chi_{ij}^2} \right)\\ 
 +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \chi_\text{nl} \right).
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-*/ +따라서 
-/* +\[ \chi_\text{nl} \approx \frac{\overline{\chi_{00}^2}}{1-\overline{\chi_{00}^2}} \approx \frac{\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}{1-\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}. \] 
-따라서 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 A<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다. +즉 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다.
-*/ +
  
 ======구면 $p$-스핀 유리 모형====== ======구면 $p$-스핀 유리 모형======
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