물리:tap_방정식

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물리:tap_방정식 [2026/10/02 10:58] – [비선형 감수율] admin물리:tap_방정식 [2026/10/02 22:04] (current) – [비선형 감수율] admin
Line 287: Line 287:
 \[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \] \[ q = \overline{\tanh \left(\beta h \right)^2} = \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi q}} \exp\left( -\frac{h^2}{2q} \right) \tanh^2 \left(\beta h\right). \]
 ==== 비선형 감수율 ==== ==== 비선형 감수율 ====
- 
-$N$이 충분히 큰 영역에서 모든 물리량이 잘 수렴되어 있어서, 스핀들이 한두 개 추가되어도 변하지 않는다고 하자. 
  
 다음의 양을 계산하기 위해 다음의 양을 계산하기 위해
Line 325: Line 323:
 &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }. &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{i0}^2 }.
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
-/*그리고 $i\neq j$인 $\chi_{ij}$가 무질서 샘플마다 부호와 크기 면에서 요동칠 것이므로 $\overline{\chi_{ij} \chi_{ik}}$는 $i$, $j$, $k$가 모두 다른 값일 때 평균 과정에서 상쇄되어 사라질 것이다.*/ 
  
-$s_0$가 추가되었을 때 $s_i$에 미치는 영향 중 가장 큰 기여분을 TAP 방정식으로부터 적는다. +$m_0$가 추가되었을 때 $m_i$의 변화는 다음처럼 기술되고
-\[ -\beta \sum_j J_{ij} m_j + \frac{\beta^2}{N} \sum_j (1-m_j^2) m_i + \tanh^{-1} m_i = 0 \] +
-인데, 국소적인 외부 장 $h_i$가 걸린다면 다음처럼 바뀐다: +
-\[ \beta h_i = -\beta \sum_j J_{ij} m_j + \frac{\beta^2}{N} \sum_j (1-m_j^2) m_i + \tanh^{-1} m_i. \] +
-$m_0$가 추가되면 $O(1)$의 변화는 우변 제일 첫 항에서 오는 $\delta h_i \approx -J_{i0} m_0$이다. +
-그러므로 $m_0$가 추가되었을 때 $m_i$의 변화는 다음처럼 기술되고+
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
 \delta m_i &=& \sum_j \left( \frac{\partial m_i}{\partial h_j} \right) \delta h_j\\ \delta m_i &=& \sum_j \left( \frac{\partial m_i}{\partial h_j} \right) \delta h_j\\
Line 344: Line 336:
 &\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \left( \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00} \right)^2}\\ &\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \left( \sum_j \chi_{ij} J_{j0} \chi_{00} \right)^2}\\
 &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j,k} \chi_{ij} \chi_{ik} J_{j0} J_{k0} }\\ &=& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j,k} \chi_{ij} \chi_{ik} J_{j0} J_{k0} }\\
-&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij} \chi_{ij} \frac{1}{N}}\\ +&\approx& \overline{\chi_{00}^2} + \sum_{i=1}^N \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2 \frac{1}{N}}\\ 
-&=& \overline{\chi_{00}^2} + \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij} \chi_{ij}}\\ +&=& \overline{\chi_{00}^2} + \overline{ \chi_{00}^2 \sum_{j} \chi_{ij}^2}\\ 
-&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \sum_{j} \overline{ \chi_{ij} \chi_{ij}} \right)\\+&\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \sum_{j} \overline{ \chi_{ij}^2} \right)\\
 &\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \chi_\text{nl} \right). &\approx& \overline{\chi_{00}^2} \left( 1 + \chi_\text{nl} \right).
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 따라서 따라서
-\[ \chi_\text{nl} = \frac{\overline{\chi_{00}^2}}{1-\overline{\chi_{00}^2}} =  \frac{\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}{1-\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}. \]+\[ \chi_\text{nl} \approx \frac{\overline{\chi_{00}^2}}{1-\overline{\chi_{00}^2}} \approx \frac{\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}{1-\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}}. \]
 즉 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다. 즉 [[신경망:공동_방법|공동 방법]]에서 $\chi_{\text{nl}}$이 유한하다는 가정은 $\beta^2 \overline{\text{sech}^4 \beta h}<1$을 의미하고, 이는 [[물리:드알메이다-사울레스_선|드알메이다-사울레스 선]]으로 나뉘어진 고온 영역을 가리킨다.
  
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