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--- 배규호:4장._눈금_바꿈_가설 [2017/08/06 17:59] – bekuho
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-======상관 길이======
-상관 함수에서 파수 벡터 공간의 상관함수 $G(k)$ 는 $k=0$ 에서 $G(0) = \chi/T$ 인 봉우리값과 그 주변으로 폭 $\xi^{-1}$ 를 가지는 뾰족한 함수로 근사될 수 있다.
-이때 폭을 상관 길이의 역수라고 가정하는데 온도가 상전이 온도 근처이고 외부에서 아무런 자기장이 걸리지 않았을 때 테일러 전개의 2차 미분과 상관 길이가 발산한다는 사실을 이용하여
-테일러 전개를 이용하여 함수를 근사하면 상관 길이의 값을 추측할 수 있다.
-$$\xi^{2} = -\frac{1}{2}G^{-1}(0)(d^{2}G(k)/dk^{2})_{k=0} , \quad |T-T_c| <<1,\quad h = 0$$
-이 때 $G(k)$가 0 근처에서 매우 뾰족한 함수이기 떄문에 2차 미분의 값은 매우 클 것이다. 따라서  $\xi$ 는 임계온도 근처에서 발산한다는 사실을 알 수 있다.
-따라서 상관 길이 $\xi$에 대해 아래와 같이 쓸 수 있다.
-$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu},  T>T_c$$
-$$\xi\propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, T<T_c$$
-======눈금 바꿈 가설(Scaling Hypothesis)======
-눈금 바꿈 가설은 강자성체의 상전이 온도 근방에서 일어나는 모든 특이 현상들이 자성체를 이루는 스핀들의 긴 범위에 걸쳐있는 상관 관계 때문에 나타난다는 가설이다.
-이 때 스핀들이 상관관계를 가지는 범위를 상관 길이라고 부른다. 중요한 점은 [[배규호:상관 길이]]가 특정한 함수의 가우스 어림법을 푸는 과정에서 나오는 것만은 아니라는 사실이다.
-또한 상관 길이는 상전이 온도 근방에서 발산하기 때문에 상전이 현상에서 상관 길이가 온도에만 의존하는 어떤 함수라고 가정한다.
-$G(k)$ 를 변수 $k\xi$, $b_1/\xi,b_2/\xi,...$ 의 함수로 쓸 수 있다고 하자. 이 때 $b_1,b_2,...$은 $|T-T_c|$ 가 충분히 작을 때 $\xi$ 를 넘지 않는 임의의 길이로 둔다.
-$\xi$ 가 발산할 때 $G(k)$를 위 변수의 함수로 나타낸다면
-$$G(k) = f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi, \dots) $$
-$$= f(k\xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial{f(k\xi,b_1\xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)}} (b_i \xi) + \sum_{i=1}\frac{\partial^{2}{f(k\xi,b_1 \xi,b_2\xi,\dots)}}{\partial{(b_i\xi)^2}}(b_i\xi)^2 + higher\: orders \: of \: (b_i\xi) $$
-$$= f(k\xi) + c_{b_1, x_1}(b_1\xi)^{x_1} + c_{b_1, x_1-1}(b_1\xi)^{{x_1}-1} + \dots + c_{b_2, x_2}(b_2\xi)^{x_2} + \dots  $$
-$$= \xi^{y}(g(k\xi) + \: higher \: powers \: of \: \xi^{-1}) $$
-$$ \approx \xi^{y}g(k\xi)$$
-다음을 유도할 때 2번째 줄에서는 $b_i/\xi$ 에 대해 급수전개 하였고 3번쨰 줄에서는 $-y = x_1 + x_2 +\dots$ 를 이용하였다.
-위 근사의 요지는 $\xi$ 가 발산 할 때 $G(k)$는 단위가 없는 숫자 $k\xi$의 함수인 $g(k\xi)$ 와 상관 길이의 멱수 $\xi^{y}$의 곱으로 나타난다는 것이다.
-$g(k\xi)$의 값이 상전이 온도 근방에서 어떤 상수로 정해진다고 가정할 때 $G(k)$ 의 행동은 오직 $\xi$와 지수 $y$에만 의존하게 된다.
-지수 $y$와 이전에 정의된 자기 감수율의 임계지수 $\gamma$ 는 $$\chi/T = G(0)$$이고 $g(0)$ 가 어떤 상수라고 할 때 $G(0)$ 에 대해서
-$$ G(0) = \xi^{y}g(0) \propto |T-T_c|^{-\nu y} $$ $$\chi \propto |T-T_c|^{-\gamma}$$ $$\nu y = \gamma $$ $$ y = \frac{\nu}{\gamma}$$ 라고 쓸 수 있다.
-$k$ 가 $0$에 가깝지만 $0$은 아닐 때 중성자 산란 단면적은 발산하는 것이 관측되어있다. 이 때 산란 단면적을 전체 부피로 나눈 값은 상관 함수에 비례한다.
-따라서 상전이 온도 근방에서 상관 함수를 $k$가 0에 매우 가까울때 $ G(k) \propto k^{-2+\eta} $ 라고 쓰고 $\eta$ 또한 다른 임계 지수라고 두자.
-$$ G(k) \propto k^{-2+\eta} $$
-$$ \lim_{k\xi\rightarrow\infty} g(k\xi) \propto (k\xi)^{-2+\eta}  $$
-$$ G(k) = \xi^{y}g(k\xi) \propto \xi^{y}(k\xi)^{-2+\eta} \propto k^{-2+\eta} $$
-$$ 2-\eta = y = \gamma/\nu $$
-의 결론을 얻는다.
-이같은 관계는 종종 **"눈금 법칙"** 이라고 불린다.
-======척도 변환======
-길이 $L$ 을 갖는 선분 안에 $\Delta l$의 간격으로 나누었다고 가정하자.
-각 구간의 시작 위치는 아래와 같이 쓰여질 수 있을 것이다.
-$$ \vec{x}_n = n\Delta l,\quad n = 0, 1, 2, 3, \dots $$
-이 선 위를 여행하는 여행자가 있다고 가정하자. 이 여행자는 $\vec{x} = 0$ 에서 시작하여 $\Delta l$만큼 움직여 각 구간의
-시작 위치마다 여행자가 몇 칸을 왔는지 기록한다. 위와 같은 상황에서 여행자가 $L$ 에 도달하면 기록한 총 횟수는 $L/\Delta l$일 것이다.
-기 기록된 횟수를 "걸음 수" 라고 표현하자.
-이제 선분을 $2\Delta l$로 나누자. 그렇게 되면 여행자가 길이 $L$ 선분을 지날 때의 걸음 수는 1/2배가 될 것이다.
-걸음 수를 길이의 단위 라고 생각 할 수 있다면 길이의 단위는 반이 된 것이다. 이제 이 걸음 수 혹은 이 길이의 단위를 $\Delta x$ 라고 표현하자.
-그리고 $\Delta l$ 앞에 곱해지는 수를 "척도" 라고 표현하고 $s$ 라고 쓰자. $\Delta x$ 에 대해서 $s$를 $\Delta l$ 에 곱하는 것은 $\Delta x$ 에
-$s^{-1}$ 을 곱하는 것과 같다. 즉 여행자 입장에서는 길이 $L$ 의 선분이 $1/2$ 만큼 짧게 보이게 되는 것이다. (공간이 수축한 것 처럼 보이는 효과이다.)
-이제 척도 차원이라는 물리량을 도입하자. 척도 차원에서는 길이에 해당하는 차원을 $-1$ 로 둔다. 따라서 파수의 차원은 $1$이 될 것이다.
-일반적으로 척도 변환 관계식은 아래와 같이 쓸 수 있다.
-$$A \rightarrow A^{\prime} = As^{\lambda} $$
-이렇게 쓸 때 $A$ 의 척도 차원은 $\lambda$ 이다. 하나의 예로 $(\delta x)^{2}$ 의 척도 차원은 $-2$ 라는 것을 알 수 있다.
-$s$ 를 척도 변환 요소로 써주고 싶다면 $\lambda$는 $-2$ 여야만 한다. 그래야 길이의 제곱 차원에 해당하는 양을 $s$ 배 할 수 있기 때문이다.
-=====강자성체의 임계지수=====
-강자성체의 상전이 온도 근방의 임계 현상을 연구할 때[[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 상관함수가 임계 온도 근바엥서 $\xi^{y}$ 의 함수로 근사 될 수 있음을 보였었다.
-또한 상관함수는 $(spin density)^{2} \times (volume)$ 이기도 하다. 상관길이 $\xi$의 척도 차원이 $-1$이기 때문에 아래와 같이 두 표현의 척도 차원이 맞아야 한다.
-$$ 2d_{\sigma} - d = -y $$
-$$ d_{\sigma} = \frac{1}{2}(d-y) = \frac{1}{2}(d-2+\eta)$$
-두 번째 줄에서 [[배규호:눈금 바꿈 가설]]에서 유도된 결과인 $$y = 2 - \eta$$ 를 사용하였다. $d_{\sigma}$ 를 스핀 밀도의 척도 차원이라고 하자.
-비슷한 방식으로 단위 부피 당 자유에너지(F)의 척도차원은 $d$가 될 것이다. 상관길이를 이용하여 다음과 같이 써줄 수 있다.
-$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu}, \quad T > T_c, \rightarrow \nu $$
-$$ \xi \propto |T-T_c|^{-\nu^{\prime}}, \quad T < T_c, \rightarrow \nu^{\prime} $$
-$$ F \propto |T-T_c|^{\nu d} $$
-열용량은 단위 부피 당 자유에너지의 온도에 대한 2차 미분에 온도를 한번 더 곱한 형태로 표현된다.
-상전이 온도 $T_c$ 근처에서 열용량의 [[:배규호:임계지수]] $\alpha$ 를 구하기 위해 차원 분석을 활용한다.
-$$ C = -T\frac{\partial^{2}F}{\partial T^{2}} \propto |T-T_c|^{\nu d - 2} $$
-열용량의 임계지수가 $\alpha$ 이므로 아래와 같은 관계가 성립하여야 한다.
-$$ \alpha = 2 - \nu d $$
-비슷한 방식으로 평균 스핀 밀도 $m$ 에 대한 임계지수 $\beta$, 자유장(apply field, h)의 차원 $d_h$ 그리고 $h$ 값이 $0$이 아닐 때 $ m \propto h^{\frac{1}{\delta}} $ 의
-임계지수 $\delta$ 를 유도한다. 이 때 $$\nu^{\prime} = \nu$$ 로 가정하는데 이것은 재규격화에서 설명된다.
-이와같은 차원 분석은 실제로 실험 데이터와 비교를 해보면 오차 10% 이내의 범위 안에서 잘 맞는 것으로 알려져 있다.
-======눈금 바꿈 가설에 대한 논의======
-눈금 바꿈 가설과 차원분석을 통해 얻는 물리량의 차원과 임계 지수의 관계는 다음과 같다.
-먼저 차원(눈금 차원)에 대해서
-$$ dimension \: of \: \xi = -1 $$
-$$ dimension \: of \: k = 1 $$
-$$ dimension \: of \: \sigma_{k} = -1+\eta/2 $$
-$$ dimension \: of \: \sigma(x) = \frac{1}{2}(d-2+\eta ) $$
-$$ dimension \: of \: h = \frac{1}{2}(d+2-\eta) $$
-임계 지수들의 관계는
-$$ \nu = \nu^{\prime} = \gamma/(2-\eta) $$
-$$ \alpha = \alpha^{\prime} = 2 - \nu d $$
-$$ \beta = frac{1}{2}\nu(d-2+\eta) $$
-$$ \delta = (d+2-\eta)/(d-2+\eta) $$
-눈금 바꿈 가설에서 주의해야 할 점은 이 방법이 상당히 즉흥적이라는 것이다. 우선 가장 큰 상관길이 하나만으로 현상이 설명된다고 말하는 것은
-명백히 잘못된 가정이다. 무시된 길이에 대해서도 어떤 것이 있을수 있다.
-비록 실험에서 구한 결과를 맞추는데 눈금 바꿈 가설이 꽤 잘 들어맞는다고 해도 위와 같은 가정 때문에 이 방법은 설득력이 떨어진다.
-이 부분에 대해서는 재규격화에서 좀 더 자세하게 설명할 것이다.
-======같이보기======
-  *[[물리:차원분석]]
-  *[[배규호:상관 길이]]
-======참고문헌======
-  *MA, Shang-Keng. Modern theory of critical phenomena. Da Capo Press, 2000.