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--- 수학:르장드르_변환 [2016/08/17 20:56] – [예] admin
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 =====예=====
 조화 퍼텐셜 $U = \frac{1}{2}k(x-x_{\min})^2$가 있고, 원래 그 최소점인 $x_{\min}$에 입자가 하나 있었다고 해보자.
-힘 $f$가 걸리면 입자의 위치는 $x_0$로 옮겨가는데, 그 정확한 값은 방정식
+힘 $f$가 걸릴 때의 입자의 위치 $x$를 생각해보면, 방정식
-$$\left. \frac{dU}{dx} \right|_{x_0} = k(x_0 - x_{\min}) = f$$
+$$\frac{dU}{dx} = k(x - x_{\min}) = f$$
 를 통해 구할 수 있다. 왜냐하면 퍼텐셜에서 비롯되는 힘은 $-dU/dx$이고 이 힘이 $-dU/dx + f = 0$로 역학적 평형을 이뤄야 하기 때문이다.
 위의 식을
-$$x_0 (f) = \frac{f}{k} + x_{\min}$$
+$$x(f) = \frac{f}{k} + x_{\min}$$
-으로 적을 수도 있을 것이다.
+으로 고쳐 적을 수도 있을 것이다.
+$U(x)$의 르장드르 변환은
+\begin{eqnarray*}
+V(f) &=& fx(f) - U[x(f)]\\
+&=& f \left( \frac{f}{k} + x_{\min} \right) - \frac{1}{2}k \left[ \left(\frac{f}{k} + x_{\min} \right) - x_{\min} \right]^2\\
+&=& \frac{f^2}{k} + fx_{\min} - \frac{1}{2} \frac{f^2}{k}\\
+&=& \frac{1}{2} \frac{f^2}{k} + fx_{\min}
+\end{eqnarray*}
+이다. 한번 더 변환하면 원래의 식이 얻어지며, 아래의 식 역시 쉽게 확인 가능하다:
+$$x(f) = \frac{dV}{df}.$$
+만일 르장드르 변환을 통해 $V(f)$를 도입하는 대신 $U$를 $f$에 대해 씀으로써 $U[x(f)]$만을 적는다면 $x_{\min}$이라는 정보는 사라짐에 유의한다.
+======라플라스 변환과의 연결======
+[[물리:엔트로피]] $S$를 [[물리:볼츠만 상수]] $k_B$로 나눈 양을 $\mathcal{S}$라고 하자. [[물리:엔트로피]]의 통계역학적 해석에 의하면 $\mathcal{S} = \ln W(U)$인데, $W(U) dU$란 [[물리:내부 에너지]]가 $U$와 $U+dU$ 사이인 계가 가질 수 있는 위상공간의 부피를 말한다.
+[[물리:분배 함수]] $Z$는 다음처럼 [[수학:라플라스 변환]]을 통해 $W(U)$와 연결된다:
+$$Z(\beta) = \int W(U) e^{-\beta U} dU.$$
+이 때에 $\beta$란 온도 $T$에 대해 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$를 의미한다.
+[[수학:브롬위치 적분]]을 통해 [[수학:라플라스 변환]]의 역변환을 취하면
+$$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C Z(\beta) e^{\beta U} d\beta$$
+이다. $C$는 [[수학:브롬위치 적분]]의 경로를 말한다.
+[[물리:열역학 퍼텐셜|헬름홀츠 자유 에너지]] $F$에 대해
+$\mathcal{F} \equiv \beta F$를 정의하면 $Z(\beta) = e^{-\mathcal{F}(\beta)}$이다.
+따라서
+$$W(U) = \frac{1}{2\pi i} \int_C e^{-\mathcal{F} + \beta U} d\beta$$
+이다.
+입자의 수 $N$이 커지면 $F$와 $U$ 등은 [[물리:크기 변수]]이기 떄문에 $O(N)$으로 함께 커진다.
+따라서 우변은 $\beta U - \mathcal{F}$의 최대, 즉 $\beta$에 대한 도함수가 0이 되는 지점에 의해 결정될 것이다:
+$$ \frac{\partial}{\partial \beta} (\beta U - \mathcal{F}) = 0.$$
+달리 말하면 $U = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial \beta}$가 성립하게 된다.
+그리고 위의 [[수학:브롬위치 적분]]은
+$$W(U) \approx \exp\left[ \beta U - \mathcal{F}[\beta(U)] \right]$$
+으로 구해져서, $\mathcal{S} = \ln W$를 사용하면
+$$\mathcal{F} = \beta U - \mathcal{S},$$
+혹은 더 익숙한 표현으로는 $F = U - TS$의 결과를 준다.
 ======참고문헌======
   * R. K. P. Zia, Edward F. Redish, and Susan R. McKay, [[http://dx.doi.org/10.1119/1.3119512|Making Sense of the Legendre Transform]], Am. J. Phys. 77, 614 (2009), [[https://arxiv.org/abs/0806.1147|arXiv:0806.1147]].