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--- 수학:소호츠키-플레멜_공식_sokhotski-plemelj_formula [2023/05/16 18:25] – heejeong
+++ 수학:소호츠키-플레멜_공식_sokhotski-plemelj_formula [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 \begin{equation}
-    \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr (\frac{1}{x}) \mp i \pi \delta(x)
+    \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{1}{x \pm i\epsilon} = \Pr \left(\frac{1}{x}\right) \mp i \pi \delta(x)
 \end{equation}
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 이다.
-====수학적으로 덜 엄격한 풀이====
+====수학적으로 덜 엄격한 소호츠키-플레멜 공식의 유도====
 첫 번째 식의 분수표현 $\frac{1}{x \pm i\epsilon}$으로부터 출발하여 다음과 같은 항등식을 얻어내었다.
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 \end{equation}
-대해 고려해 보자. $\epsilon$은 무한소량이므로, 다음 적분에서 유일하고 중요한 기여이며, 이는 $x \simeq 0$에 가까운 적분 영역에서 주요하다.
+에 대해 고려해 보자. $\epsilon$은 무한소량이므로, 다음 적분에서 유일하고 중요한 기여이며, 이는 $x \simeq 0$에 가까운 적분 영역에서 주요하다.
 \begin{equation}
@@ Line 93: / Line 93: @@
 \end{equation}
-여기서 피적분함수는 $\epsilon^{-2}$와 같이 행동한다. 따라서 다시 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있으며, 이 경우 아래와 같은 계산을 사용하여,
+여기서 피적분함수는 $\epsilon^{-2}$와 같이 거동한다. 따라서 다시 $f(x) \simeq f(0)$로 근사 할 수 있으며, 이 경우 아래와 같은 계산을 이용하여,
 \begin{equation}
@@ Line 105: / Line 105: @@
 \end{equation}
-따라서 일련의 실수부 및 허수부 적분의 계산을 이용해 다음 식을 얻었으며,
+따라서 일련의 실수부 및 허수부 적분의 계산을 이용해 아래의 식을 얻었으며,
 \begin{equation}
@@ Line 112: / Line 112: @@
 이는 개요의 두 번째 식의 증명이다.
+====수학적으로 조금 더 엄격한 소호츠키-플레멜 공식의 유도====
+아래 그림에서와 같이, $C$로 표현되는, 복소 평면에서의 적분 경로를 고려해보자.
+{{ :수학:sokhotski_plemelj_complex_plane.png?600 |}}
+ 다시말해 $C$는 $-\infty$ 에서 $-\delta$ 까지의 실수축을 따르는 윤곽선이고, 반경 $\delta$의 반원형 경로 $C_{\delta}$와 $\delta$에서 $\infty$까지의 실수축을 따르는 윤곽선이다. 무한소량 $\delta$는 양수라고 가정한다. 이때,
+ \begin{equation}
+    \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x}dx + \int_{C_{\delta}} \frac{f(x)}{x}dx,
+ \end{equation}
+ 으로 보여지며, 주요값 적분은 앞선 개요 문단의 세번째 식에서 정의하였다. $\delta \rightarrow 0$의 극한 조건의 경우, 앞선 식의 우측 항 마지막 적분에서 $f(x) \simeq f(0)$을 근사할 수 있다. 윤곽선 $C_{\delta}$가 범위 $0 \leq \theta \leq \pi$에 대해 $x = \delta e^{i\theta}$ 로 매개변수화 될 수 있음을 고려하면 다음과 같이 보여지고,
+ \begin{equation}
+    \lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{C_{\delta}} \frac{f(x)}{x}dx = f(0)\lim_{\delta \rightarrow 0} \int_{\pi}^{0} \frac{i\delta e^{i\theta}}{\delta e^{i\theta}}d\theta = -i\pi f(0)
+ \end{equation}
+ 따라서 다음과 같이 나타내어진다.
+ \begin{equation}
+    \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} - i\pi f(0).
+ \end{equation}
+ 또한 윤곽선 $C$를 $-\infty + i\epsilon$에서 $\infty + i\epsilon$까지 이어지는 직선으로 구성된 윤곽선 $C'$으로 변형하여 위의 식의 좌측 항을 추정할 수 있다. 여기서 $\epsilon$은 양의 무한소이며 $\delta$와 크기 순서가 동일하다. $f(x)$가 실수축 주위의 무한소 근처에서 특이점이 없다고 가정하면, 적분의 값을 바꾸지 않고 윤곽선 $C$를 $C'$로 자유롭게 변형할 수 있다. 따라서,
+ \begin{equation}
+    \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \int_{-\infty + i\epsilon}^{\infty + i\epsilon} \frac{f(x)}{x}dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(y + i\epsilon)}{y + i\epsilon}dy,
+ \end{equation}
+ 로 보여지고 마지막 단계에서 적분 변수를 $x = y + i\epsilon$으로 치환하였다.
+ $\epsilon$은 무한소이므로 $\epsilon \rightarrow 0$의 극한을 통해, $f(y + i\epsilon) \simeq f(y)$로 근사가 가능하다. 따라서 적분 변수 $y$를 $x$로 다시 나타내면 다음과 같이 표현된다.
+ \begin{equation}
+    \int_{C} \frac{f(x)}{x}dx = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x + i\epsilon}dx.
+ \end{equation}
+ 이 결과를 앞서 보인 $\int_{C} \frac{f(x)}{x}dx$의 식에 대입하면,
+ \begin{equation}
+    \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x + i\epsilon}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} - i\pi f(0).
+ \end{equation}
+ 위의 식은 $f(x)$가 $f^{*}(x)$로 치환되어도 유효하므로 결과식에 대해 복소수 켤레를 취할 수 있다. 따라서 마지막 결과는 다음과 같이 보여진다.
+ \begin{equation}
+    \lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x \pm i\epsilon}dx = \Pr \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x} \mp i\pi f(0),
+ \end{equation}
+ 이는 이전 절에서 보였던 결과와 일치하고, 소호츠키-플레멜 공식의 증명으로 보여진다.
 =====참고문헌=====
   * Howard Haber. (2018, winter) Lecture Note 7 : The Sokhotski-Plemelj Formula, Physics 215 [Lecture Note], Department of Physics, UCSC.