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--- 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 14:33] – created minwoo
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 $$
+ $\\$
+즉, 각 행과 열을 구성하는 성분은 모두 일치하지만, 그 순서가 한 차례 씩 밀린 것을 확인할 수 있다.
+ $\\$
 이러한 행렬을 사용하는 일례를 들자면, 고리(ring)와 같은 형태에서 규칙적으로 배열된 입자나 진동자를 다룰 때이다.
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 각 위치에 놓인 대상을  $j$ 라는 index로 지정하면, 서로 다른 진동자  $k$ 로 부터 떨어진 거리는 고리 상의 유클리드 거리(Euclidean distance)로 설명이 되는데, 그 거리를  $r_{jk}$ 라고 부를 수 있다.
-그러한  $r_{jk}$ 에 대해서 동일한 함수로 구성된 성분을 갖는 행렬을  $A$ 라고 하면, 그러한  $A$ 는 위에서 소개한 형태의 순환행렬임을 알 수 있다.
+그러한  $r_{jk}$ 에 대해서 동일한 함수로 구성된 성분으로 구성된 행렬을  $A$ 라고 하면, 그러한  $A$ 는 위에서 소개한 형태의 순환 행렬임을 알 수 있다.
+ $\\$
+====== 순환 행렬의 고유 벡터 ======
+순환 행렬이 자명하게 갖는 고유 벡터는 다음과 같으며
+$$
+v^0  = (1,\ 1,\ ..., 1)^T
+$$
+그에 대응되는 고유값은  $c_0 + c_1 + ... + c_{n-1}$ 이다.
+ $\\$
+또 다른 고유 벡터는 일반적으로 아래와 같은 '1의 거듭제곱근'을 성분으로 갖는 벡터이다.
+$$
+v_k  = \left(1,\ \omega_n^k,\ \omega_n^{2k},\ ..., \omega_n^{(n-1)k}\right)^T, \\
+\omega_n = e^{2\pi i / n}
+$$
+ $\\$
+이러한 벡터  $v_k$ 가 왜 순환 행렬  $C$ 의 고유 벡터인지 증명해보자.
+ $\\$
+===== 합성곱(convolution)과 고유 벡터의 성질 =====
+순환 행렬  $C$ 를 어떠한 벡터  $x$ 에 곱한 결과 벡터가  $y$ 라면, 그는 순환 행렬의 형태를 고려하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
+$$
+y_j = \sum_{i=0}^{n-1} c_{(i-j) \operatorname{mod} n}\ x_i
+$$
+ $\\$
+이때, 앞서 언급한  $v_k$ 가  $C$ 의 고유 벡터임을 확인하기 위해서
+아래와 같은 식을 고려하자.
+$$
+\left(C v_k\right)_j = \sum_{i=0}^{n-1} c_{(i-j) \operatorname{mod} n}\ \left(\omega_n\right)^{ik}
+$$
+위 식에서  $m=(i-j) \operatorname{mod} n$  이라고 둔다면, 식이 다음과 같이 바뀐다.
+$$
+\left(C v_k\right)_j = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\ \left(\omega_n\right)^{(j+m)k}
+$$
+이는  $\operatorname{mod}$  계산에 따른 것이다.  $m=(i-j) \operatorname{mod} n$  이라고 함은  $q$ 가 정수 일 때  $i-j = qn+m$ 와 같이 표현됨을 의미하며, 그러므로  $j=i-m-qn$ 이다.
+그렇다면 이것은  $i=j+m+qn$ 을 의미하므로,  $i = (j+m) \operatorname{mod} n$ 를 의미한다.
+따라서,   $\omega_n$ 이  $n$ -주기를 갖는 것을 고려하였을 때  $\operatorname{mod} n$ 을 생략하여  $i = (j+m)$ 를 지수에 대입할 수 있는 것이다.
+ $\\$
+위의 식을 더 정리하면 아래와 같다.
+$$
+\left(C v_k\right)_j = \left(\omega_n\right)^{jk}\sum_{m=0}^{n-1} c_{m} \left(\omega_n\right)^{mk}
+$$
+여기에서  $\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$ 는  $v_k$ 에 대한 '이산 푸리에 변환(Fourier transform)'이다. 이를  $\lambda_k$ 라고 둔다면  $\left(C v_k\right)_j = \lambda_k (v_k)_j$  이므로,  $v_k$ 는 아래와 같이 고유값 방정식을 만족하게 된다.
+ $C v_k = \lambda_k (v_k).$
+ $\\$
+===== 순환 행렬의 고유값이 갖는 성질 =====
+고유값인  $\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$ 를 오일러 공식을 이용하여 풀어서 쓰면 다음과 같다.
+$$
+\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2\pi i / n}\right)^{mk} = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2i\pi mk / n}\right) \\
+=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( \cos\left(\frac{2i\pi mk}{n}\right) + i\sin \left(\frac{2i\pi mk}{n}\right)\right) \\
+$$
+이때, 대칭적인 순환 행렬은 에르미트 (Hermitian) 행렬에 속하므로, 그의 고유값은 실수(real-valued)이다.
+ $\\$
+또한, 이는 앞서 살펴본 순환 행렬의 성분과 고유값으로도 확인이 가능하다.  대칭적인 순환 행렬의 성분들은  $c_m=c_{n-m}$ 를 만족하며 배열되며 그 경우에는 위의  $\sin$ 항의 합이  $0$ 이 됨을 확인할 수 있기 때문이다.