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--- 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 15:04] – minwoo
+++ 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 21:31] (current) – minwoo
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 $$
-y_k = \sum_{j=0}^{n-1} c_{(j-k) \operatorname{mod} n}\ x_j
+y_j = \sum_{i=0}^{n-1} c_{(i-j) \operatorname{mod} n}\ x_i
 $$
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 $$
-\left(C v_k\right)_j = \sum_{i=0}^{n-1} c_{(j-k) \operatorname{mod} n}\ \left(\omega_n\right)^{ik}
+\left(C v_k\right)_j = \sum_{i=0}^{n-1} c_{(i-j) \operatorname{mod} n}\ \left(\omega_n\right)^{ik}
 $$
-위 식에서 $m=(j-i) \operatorname{mod} n$ 이라고 둔다면, 식이 다음과 같이 바뀐다.
+위 식에서 $m=(i-j) \operatorname{mod} n$ 이라고 둔다면, 식이 다음과 같이 바뀐다.
 $$
-\left(C v_k\right)_j = \sum_{m=0}^{n-1} c_{(j-k) \operatorname{mod} n}\ \left(\omega_n\right)^{(j-m)k}
+\left(C v_k\right)_j = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\ \left(\omega_n\right)^{(j+m)k}
 $$
-(이는 $\operatorname{mod}$ 계산에 따른 것이다.
+이는 $\operatorname{mod}$ 계산에 따른 것이다. $m=(i-j) \operatorname{mod} n $ 이라고 함은 $q$가 정수 일 때 $i-j = qn+m$와 같이 표현됨을 의미하며, 그러므로 $j=i-m-qn$이다.
-$m=(j-i) \operatorname{mod} n $ 이라고 함은 $q$가 정수 일 때 $j-i = qn+m$와 같이 표현됨을 의미하며, 그러므로 $i=j-m-qn$이다.
+그렇다면 이것은 $i=j+m+qn$을 의미하므로, $i = (j+m) \operatorname{mod} n$를 의미한다.
-그렇다면 이것이 $i = (j-m) \operatorname{mod} n$ 과 같은 것인지 확인해보자.
-$p$가 정수일 때 $j-m = pn+i$가 되어야 하고, 그에 따라 $i=j-m-pn$ 이다.
+따라서,  $\omega_n$이 $n$-주기를 갖는 것을 고려하였을 때 $\operatorname{mod} n$을 생략하여 $i = (j+m)$를 지수에 대입할 수 있는 것이다.
+$$\\$$
+위의 식을 더 정리하면 아래와 같다.
+$$
+\left(C v_k\right)_j = \left(\omega_n\right)^{jk}\sum_{m=0}^{n-1} c_{m} \left(\omega_n\right)^{mk}
+$$
+여기에서 $\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$는 $v_k$에 대한 '이산 푸리에 변환(Fourier transform)'이다. 이를 $\lambda_k$라고 둔다면 $\left(C v_k\right)_j = \lambda_k (v_k)_j$ 이므로, $v_k$는 아래와 같이 고유값 방정식을 만족하게 된다.
+$$C v_k = \lambda_k (v_k).$$
-따라서, $\omega_n$이 $n$-주기를 갖는 것을 고려하였을 때, $m$의 정의로부터 $i = (j-m) \operatorname{mod} n$를 대입할 수 있다.
 $$\\$$
+===== 순환 행렬의 고유값이 갖는 성질 =====
+고유값인 $\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$를 오일러 공식을 이용하여 풀어서 쓰면 다음과 같다.
+$$
+\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2\pi i / n}\right)^{mk} = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2i\pi mk / n}\right) \\
+=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( \cos\left(\frac{2i\pi mk}{n}\right) + i\sin \left(\frac{2i\pi mk}{n}\right)\right) \\
+$$
+이때, 대칭적인 순환 행렬은 에르미트 (Hermitian) 행렬에 속하므로, 그의 고유값은 실수(real-valued)이다.
+$$\\ $$
+또한, 이는 앞서 살펴본 순환 행렬의 성분과 고유값으로도 확인이 가능하다.  대칭적인 순환 행렬의 성분들은 $c_m=c_{n-m}$를 만족하며 배열되며 그 경우에는 위의 $\sin$항의 합이 $0$이 됨을 확인할 수 있기 때문이다.