Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 15:33] – minwoo
+++ 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 21:31] (current) – minwoo
@@ Line 82: / Line 82: @@
 위의 식을 더 정리하면 아래와 같다.
 $$
-\left(C v_k\right)_j = \left(\omega_n\right)^{jk}\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\ \left(\omega_n\right)^{mk}
+\left(C v_k\right)_j = \left(\omega_n\right)^{jk}\sum_{m=0}^{n-1} c_{m} \left(\omega_n\right)^{mk}
 $$
-여기에서 $\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\ \left(\omega_n\right)^{mk}$는 이산 푸리에 변환(Fourier transform)이다. 이를 $\lambda_k$라고 둔다면 $\left(C v_k\right)_j = \lambda_k \ (v_k)_j$ 이므로, $v_k$는 아래와 같이 고유값 방정식을 만족하게 된다.
+여기에서 $\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$는 $v_k$에 대한 '이산 푸리에 변환(Fourier transform)'이다. 이를 $\lambda_k$라고 둔다면 $\left(C v_k\right)_j = \lambda_k (v_k)_j$ 이므로, $v_k$는 아래와 같이 고유값 방정식을 만족하게 된다.
-$$C v_k = \lambda_k \ (v_k)$$
+$$C v_k = \lambda_k (v_k).$$
+$$\\$$
+===== 순환 행렬의 고유값이 갖는 성질 =====
+고유값인 $\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$를 오일러 공식을 이용하여 풀어서 쓰면 다음과 같다.
+$$
+\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2\pi i / n}\right)^{mk} = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2i\pi mk / n}\right) \\
+=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( \cos\left(\frac{2i\pi mk}{n}\right) + i\sin \left(\frac{2i\pi mk}{n}\right)\right) \\
+$$
+이때, 대칭적인 순환 행렬은 에르미트 (Hermitian) 행렬에 속하므로, 그의 고유값은 실수(real-valued)이다.
+$$\\ $$
+또한, 이는 앞서 살펴본 순환 행렬의 성분과 고유값으로도 확인이 가능하다.  대칭적인 순환 행렬의 성분들은 $c_m=c_{n-m}$를 만족하며 배열되며 그 경우에는 위의 $\sin$항의 합이 $0$이 됨을 확인할 수 있기 때문이다.