Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 21:22] – minwoo
+++ 수학:순환_행렬_circulant_matrix [2024/12/09 21:31] (current) – minwoo
@@ Line 91: / Line 91: @@
 $$\\$$
-===== 순환 행렬의 고유 값이 갖는 성질 =====
+===== 순환 행렬의 고유값이 갖는 성질 =====
 고유값인 $\lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left(\omega_n\right)^{mk}$를 오일러 공식을 이용하여 풀어서 쓰면 다음과 같다.
@@ Line 97: / Line 97: @@
 $$
 \lambda_k=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2\pi i / n}\right)^{mk} = \sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( e^{2i\pi mk / n}\right) \\
-=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( \cos\left(2i\pi mk / n\right) + i\sin \left(2i\pi mk / n\right)\right) \\
+=\sum_{m=0}^{n-1} c_{m}\left( \cos\left(\frac{2i\pi mk}{n}\right) + i\sin \left(\frac{2i\pi mk}{n}\right)\right) \\
 $$
-이때, $c_j=c_{n-j}$로 배열되는 순환 행렬의 경우에는 위의 $\sin$항의 합이 $0$이 된다.
+이때, 대칭적인 순환 행렬은 에르미트 (Hermitian) 행렬에 속하므로, 그의 고유값은 실수(real-valued)이다.
+$$\\ $$
+또한, 이는 앞서 살펴본 순환 행렬의 성분과 고유값으로도 확인이 가능하다.  대칭적인 순환 행렬의 성분들은 $c_m=c_{n-m}$를 만족하며 배열되며 그 경우에는 위의 $\sin$항의 합이 $0$이 됨을 확인할 수 있기 때문이다.
-따라서 그러한 조건에서는 항상 실수의 고유값을 갖는다.