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 \begin{eqnarray*}
-p(x_0) &=& \left[\sum_{x_1,x_2} f_{(0,1,2)}(x_0,x_1,x_2) \mu_{1\to(0,1,2)}(x_1) \mu_{2\to(0,1,2)}(x_2) \right] \times \left[\sum_{x_1,x_2} f_{(0,1,2)}(x_0,x_1,x_2) \mu_{1\to(0,1,2)}(x_1) \mu_{2\to(0,1,2)}(x_2) \right]\\
+p(x_0) &=& \left[\sum_{x_1,x_2} f_{(0,1,2)}(x_0,x_1,x_2) \mu_{1\to(0,1,2)}(x_1) \mu_{2\to(0,1,2)}(x_2) \right] \times \left[\sum_{x_3,x_4} f_{(0,3,4)}(x_0,x_3,x_4) \mu_{3\to(0,3,4)}(x_3) \mu_{4\to(0,3,4)}(x_4) \right]\\
-&& \times \left[\sum_{x_1,x_2} f_{(0,1,2)}(x_0,x_1,x_2) \mu_{1\to(0,1,2)}(x_1) \mu_{2\to(0,1,2)}(x_2) \right] \times \left[\sum_{x_1,x_2} f_{(0,1,2)}(x_0,x_1,x_2) \mu_{1\to(0,1,2)}(x_1) \mu_{2\to(0,1,2)}(x_2) \right] \times f_{(0)} (x_0)
+&& \times \left[\sum_{x_5,x_6} f_{(0,5,6)}(x_0,x_5,x_6) \mu_{5\to(0,5,6)}(x_5) \mu_{6\to(0,5,6)}(x_6) \right] \times \left[\sum_{x_7,x_8} f_{(0,7,8)}(x_0,x_7,x_8) \mu_{7\to(0,7,8)}(x_7) \mu_{8\to(0,7,8)}(x_8) \right] \times f_{(0)} (x_0)
 \end{eqnarray*}
-정규화가 미리 되어있지 않다고 하면 분모에 정규화 상수를 써주고 스핀에 대한 표기법으로 적어주자. 모든 스핀이 연결된 상황에서도 위의 식이 성립한다고 보기 때문에 근사식이다. 편의상 $p=3$이라고 하고 적은 다음 일반화할 것이다. 그리고 앞 절과 달리, 평균 $0$이고 분산이 $J^2 p! / N^{p-1}$인 정규분포에서 무작위로 결합상수들을 추출하였다고 가정하여 $N$에 대한 의존성을 결합상수 안에 집어넣을 것이다.
+정규화가 미리 되어있지 않다고 하면 분모에 정규화 상수를 써주고 스핀에 대한 표기법으로 적어주자. 모든 스핀이 연결된 상황에서도 위의 식이 성립한다고 보기 때문에 근사식이다. 편의상 $p=3$이라고 하고 적은 다음 일반화할 것이다. 그리고 앞 절과 달리, 평균 $0$이고 분산이 $J^2 p! / N^{p-1}$인 정규분포에서 무작위로 결합상수들을 추출하였다고 가정하여 $N$에 대한 의존성을 결합상수 안에 집어넣을 것이다. 결합상수에 달린 인덱스에 중복이 있으면 모두 $0$으로 간주한다. 즉 $J_{iij} = J_{ijj} = \ldots = 0$이다. 그리고 동일한 $p$ 스핀 집합을 여러 번 셈하는 일을 피하기 위해, 좌변에 고정된 $i$를 제외한 나머지 $k_1$, $k_2$ 등의 인덱스는 오름차순으로 정렬한다.
 \begin{eqnarray*}
-p(\sigma_i) &\approx& \frac{e^{\beta h \sigma_i} \prod_{i<k_1<k_2} \sum_{\sigma_{k_1}, \sigma_{k_2}} \exp \left( \beta J_{ik_1k_2} \sigma_i \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} \right)  \mu_{k_1\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_1}) \mu_{k_2\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_2})}{ \sum_{\tau = \pm 1} e^{\beta h \tau} \prod_{i<k_1<k_2} \sum_{\sigma_{k_1}, \sigma_{k_2}} \exp \left( \beta J_{ik_1k_2} \tau \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} \right)  \mu_{k_1\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_1}) \mu_{k_2\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_2})}.
+p(\sigma_i) &\approx& \frac{e^{\beta h \sigma_i} \prod_{k_1<k_2} \sum_{\sigma_{k_1}, \sigma_{k_2}} \exp \left( \beta J_{ik_1k_2} \sigma_i \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} \right)  \mu_{k_1\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_1}) \mu_{k_2\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_2})}{ \sum_{\tau = \pm 1} e^{\beta h \tau} \prod_{k_1<k_2} \sum_{\sigma_{k_1}, \sigma_{k_2}} \exp \left( \beta J_{ik_1k_2} \tau \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} \right)  \mu_{k_1\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_1}) \mu_{k_2\to (i,k_1,k_2)}(\sigma_{k_2})}.
 \end{eqnarray*}
 메시지의 곱들로 정의되는 곱측도(product measure)에 대한 평균을 $\mathbb{E}_i$로 정의하자. $m_{k\to i} \equiv \mathbb{E}_i \sigma_k$이다.
 이어 $\sigma_i$의 평균 $m_i = p(\sigma_i=+1) - p(\sigma_i = -1)$을 적어보면,
 \begin{eqnarray*}
-m_i &\approx& \frac{\mathbb{E}_i \sinh \left( \sum_{i<k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} + \beta h \right) }{\mathbb{E}_i \cosh \left( \sum_{i<k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} + \beta h \right)}.
+m_i &\approx& \frac{\mathbb{E}_i \sinh \left( \sum_{k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} + \beta h \right) }{\mathbb{E}_i \cosh \left( \sum_{k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} + \beta h \right)}.
 \end{eqnarray*}
 이때 다음의 양을 정의하자.
-$$X_i \equiv \sum_{i<k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \left( \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} - m_{k_1\to i} m_{k_2\to i} \right).$$
+$$X_i \equiv \sum_{k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} \left( \sigma_{k_1} \sigma_{k_2} - m_{k_1\to i} m_{k_2\to i} \right).$$
 $N$이 충분히 클 때에 정규 분포를 따를 것이므로 $m_i$에 대한 식을 다음처럼 적을 수 있다:
 \begin{eqnarray*}
-m_i &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{i<k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} m_{k_1\to i} m_{k_2\to i} \right).
+m_i &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{k_1<k_2} \beta J_{ik_1k_2} m_{k_1\to i} m_{k_2\to i} \right).
 \end{eqnarray*}
 $\tanh$ 안에 있는 식들을 정리하기 위해 다음처럼 고쳐 적자:
 \begin{eqnarray*}
-m_k &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{k<j_1<j_2} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right)\\
+m_k &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{j_1<j_2} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right)\\
-&=& \tanh \left( \beta h + \sum_{k<j_1<j_2,\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} + \sum_{j_2} \beta J_{kij_2} m_{i\to k} m_{j_2\to k} \right)\\
+&=& \tanh \left( \beta h + \sum_{j_1<j_2\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} + \sum_{j_2} \beta J_{kij_2} m_{i\to k} m_{j_2\to k} \right)\\
-&\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{k<j_1<j_2,\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right) + \left( \sum_{j_2} \beta J_{kij_2} m_{i\to k} m_{j_2\to k} \right) \left[ 1 - \tanh^2 \left( \beta h + \sum_{k<j_1<j_2,\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right) \right]\\
+&\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{j_1<j_2\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right) + \left( \sum_{j_2} \beta J_{kij_2} m_{i\to k} m_{j_2\to k} \right) \left[ 1 - \tanh^2 \left( \beta h + \sum_{j_1<j_2\\j_1\neq i} \beta J_{kj_1j_2} m_{j_1\to k} m_{j_2\to k} \right) \right]\\
 &\approx& m_{k\to i} + \left( \sum_{j_2} \beta J_{kij_2} m_{i\to k} m_{j_2\to k} \right) \left(1- m_{k\to i}^2 \right).
 \end{eqnarray*}
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 \begin{eqnarray*}
 \chi_k &\equiv& \beta \left(1 - m_k^2 \right)\\
-h_{k\to i} &\equiv& m_i \sum_{j_3 <\ldots <j_p} \beta J_{kij_3\ldots j_p} m_{j_3} \cdots m_{j_p}\\
+h_{k\to i} &\equiv& m_i \sum_{j_3 <\ldots <j_p} J_{kij_3\ldots j_p} m_{j_3} \cdots m_{j_p}\\
-&=& m_i \frac{1}{(p-2)!} \sum_{j_3 \ldots j_p} \beta J_{kij_3\ldots j_p} m_{j_3} \cdots m_{j_p}.
+&=& m_i \frac{1}{(p-2)!} \sum_{j_3, \ldots, j_p} J_{kij_3\ldots j_p} m_{j_3} \cdots m_{j_p}.
 \end{eqnarray*}
 이제 이 결과들을 $m_i$에 대한 식에 다시 대입한다:
 \begin{eqnarray*}
-m_i &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{i<k_2<\cdots<k_p} \beta J_{ik_2\ldots k_p} m_{k_2\to i} \cdots m_{k_p\to i} \right)\\
+m_i &\approx& \tanh \left( \beta h + \sum_{k_2<\cdots<k_p} \beta J_{ik_2\ldots k_p} m_{k_2\to i} \cdots m_{k_p\to i} \right)\\
-&\approx& \tanh \left[ \beta h + \sum_{i<k_2<\cdots<k_p} \beta J_{ik_2\ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_2\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right) \right]\\
+&\approx& \tanh \left[ \beta h + \sum_{k_2<\cdots<k_p} \beta J_{ik_2\ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_2\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right) \right]\\
-&=& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{ik_2 \ldots k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_2\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right) \right].
+&=& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_2\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right) \right].
 \end{eqnarray*}
-그런데
+전개 후 결합상수의 낮은 차수에 대해서만 남겨두면 다음과 같고
 \begin{eqnarray*}
-\frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{ik_2 \ldots k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_1\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right)
+\frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( m_{k_2} - \chi_{k_2} h_{k_1\to i} \right) \cdots \left( m_{k_p} - \chi_{k_p} h_{k_p\to i} \right)
-&\approx& \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{ik_2 \ldots k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p}\\
+&\approx& \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{i,k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( \chi_{k_2} h_{k_2\to i} m_{k_3} \cdots m_{k_p} + \ldots + \chi_{k_p} h_{k_p\to i} m_{k_2} \cdots m_{k_{p-1}} \right)
-&&- \frac{\beta}{(p-1)!}
 \end{eqnarray*}
+이 중 마지막 항은 다음처럼 고쳐 쓸 수 있다:
+\begin{eqnarray*}
+&&\frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} \left( \chi_{k_2} h_{k_2\to i} m_{k_3} \cdots m_{k_p} + \ldots + \chi_{k_p} h_{k_p\to i} m_{k_2} \cdots m_{k_{p-1}} \right)\\
+&\approx& \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p} \times (p-1) \chi_{k_2} h_{k_2\to i}\\
+&=& \frac{\beta}{(p-2)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p} \times \chi_{k_2} h_{k_2\to i} \\
+&=& \frac{\beta^2}{(p-2)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p} \times \left(1-m_{k_2}^2 \right) \left[ m_i \frac{1}{(p-2)!} \sum_{j_3 \ldots j_p} J_{k_2ij_3\ldots j_p} m_{j_3} \cdots m_{j_p} \right]\\
+&=& \frac{\beta^2 m_i}{\left[(p-2)!\right]^2} \sum_{k_2} \left(1-m_{k_2}^2 \right) \left[ \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p} \right]^2.
+\end{eqnarray*}
+마지막의 $\left[ \ldots \right]^2$에서, 대각항들은 제곱의 합이어서 양의 기여를 하는 반면 교차항들은 +/-의 난수이므로 평균적으로 상쇄되어 사라진다:
+\begin{eqnarray*}
+\left[ \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_3} \cdots m_{k_p} \right]^2 &\approx& (p-2)! \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p}^2 m_{k_3}^2 \cdots m_{k_p}^2.
+\end{eqnarray*}
+순열(permutation)에 대해 대칭적인 항들이 좌변의 합에는 $\left[(p-2)!\right]^2$개 등장하는 반면 우변의 합에서는 $(p-2)!$개만 등장하므로 그 앞에 $(p-2)!$을 써주었다.
+이제 결과들을 모아서 써보자.
+\begin{eqnarray*}
+m_i &\approx& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{\left[(p-2)!\right]^2} \sum_j \left(1-m_j^2 \right) (p-2)! \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ij k_3 \ldots k_p}^2 m_{k_3}^2 \cdots m_{k_p}^2 \right]\\
+&\approx& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{(p-2)!} \sum_j \left(1-m_j^2 \right) \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ij k_3 \ldots k_p}^2 m_{k_3}^2 \cdots m_{k_p}^2 \right]
+\end{eqnarray*}
+$N$이 클 때 $J_{ijk_3 \ldots k_p}$는 $m_j, m_{k_3},\ldots, m_{k_p}$ 등과 무관하므로,
+$$q \equiv \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N m_i^2$$
+으로 정의하면 상관함수는 모두 쪼개져서 다음처럼 쓰여진다:
+$$\frac{1}{N} \sum_{k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p}^2 m_{k_p}^2 \approx \langle J_{ijk_3 \ldots k_p}^2 \rangle \langle m_{k_p}^2 \rangle = \frac{J^2 p!}{2N^{p-1}}q.$$
+결론적으로,
+\begin{eqnarray*}
+m_i &\approx& \tanh \left\{ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{(p-2)!} \sum_j \left[ \left(1-m_j^2 \right) \frac{J^2 p!}{2N^{p-1}} N^{p-2} q^{p-2} \right] \right\}\\
+&=& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - m_i (\beta J)^2 \frac{p(p-1)}{2} (1-q) q^{p-2} \right].
+\end{eqnarray*}
+$\partial q/\partial m_i = 2m_i / N$에 유의하면, $h=0$일 때 위의 식은 아래의 자유 에너지 밀도 $f$를 $m_i$로 미분하여 얻는 결과와 같다:
+\begin{eqnarray*}
+\beta f &=& \frac{1}{2N} \sum_i \left[ (1+m_i) \ln \left( \frac{1+m_i}{2} \right) + (1-m_i) \ln \left( \frac{1-m_i}{2} \right) \right] - \frac{\beta}{N} \sum_{i_1<\cdots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{(\beta J)^2}{4} \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} + 1 \right].
+\end{eqnarray*}
+가장 마지막의 $+1$은 $m_i$로의 미분에 영향을 주지 않지만, 이것을 더함으로써 $\forall m_i=0$일 때 [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]의 복제 대칭 해에서 얻는 $f$와 같은 결과를 얻는다.
 ======같이 보기======
   * [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]
   * [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]
+  * [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]
   * [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]
 ======참고문헌======