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--- 수학:인자_그래프 [2026/03/31 21:13] – [$p$-스핀 유리 모형] admin
+++ 수학:인자_그래프 [2026/04/01 13:39] (current) – [$p$-스핀 유리 모형] admin
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 \end{eqnarray*}
 순열(permutation)에 대해 대칭적인 항들이 좌변의 합에는 $\left[(p-2)!\right]^2$개 등장하는 반면 우변의 합에서는 $(p-2)!$개만 등장하므로 그 앞에 $(p-2)!$을 써주었다.
+이제 결과들을 모아서 써보자.
+\begin{eqnarray*}
+m_i &\approx& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{\left[(p-2)!\right]^2} \sum_j \left(1-m_j^2 \right) (p-2)! \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ij k_3 \ldots k_p}^2 m_{k_3}^2 \cdots m_{k_p}^2 \right]\\
+&\approx& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{(p-2)!} \sum_j \left(1-m_j^2 \right) \sum_{k_3,\ldots, k_p} J_{ij k_3 \ldots k_p}^2 m_{k_3}^2 \cdots m_{k_p}^2 \right]
+\end{eqnarray*}
+$N$이 클 때 $J_{ijk_3 \ldots k_p}$는 $m_j, m_{k_3},\ldots, m_{k_p}$ 등과 무관하므로,
+$$q \equiv \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N m_i^2$$
+으로 정의하면 상관함수는 모두 쪼개져서 다음처럼 쓰여진다:
+$$\frac{1}{N} \sum_{k_p} J_{ijk_3 \ldots k_p}^2 m_{k_p}^2 \approx \langle J_{ijk_3 \ldots k_p}^2 \rangle \langle m_{k_p}^2 \rangle = \frac{J^2 p!}{2N^{p-1}}q.$$
+결론적으로,
+\begin{eqnarray*}
+m_i &\approx& \tanh \left\{ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - \frac{\beta^2 m_i}{(p-2)!} \sum_j \left[ \left(1-m_j^2 \right) \frac{J^2 p!}{2N^{p-1}} N^{p-2} q^{p-2} \right] \right\}\\
+&=& \tanh \left[ \beta h + \frac{\beta}{(p-1)!} \sum_{k_2, \ldots, k_p} J_{ik_2 \ldots k_p} m_{k_2} \cdots m_{k_p} - m_i (\beta J)^2 \frac{p(p-1)}{2} (1-q) q^{p-2} \right].
+\end{eqnarray*}
+$\partial q/\partial m_i = 2m_i / N$에 유의하면, $h=0$일 때 위의 식은 아래의 자유 에너지 밀도 $f$를 $m_i$로 미분하여 얻는 결과와 같다:
+\begin{eqnarray*}
+\beta f &=& \frac{1}{2N} \sum_i \left[ (1+m_i) \ln \left( \frac{1+m_i}{2} \right) + (1-m_i) \ln \left( \frac{1-m_i}{2} \right) \right] - \frac{\beta}{N} \sum_{i_1<\cdots<i_p} J_{i_1 \ldots i_p} m_{i_1} \cdots m_{i_p} - \frac{(\beta J)^2}{4} \left[ (p-1)q^p - pq^{p-1} + 1 \right].
+\end{eqnarray*}
+가장 마지막의 $+1$은 $m_i$로의 미분에 영향을 주지 않지만, 이것을 더함으로써 $\forall m_i=0$일 때 [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]의 복제 대칭 해에서 얻는 $f$와 같은 결과를 얻는다.
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   * [[물리:tap_방정식|TAP 방정식]]
   * [[물리:셰링턴-커크패트릭_모형|셰링턴-커크패트릭 모형]]
+  * [[물리:p-스핀_유리_모형|$p$-스핀 유리 모형]]
   * [[물리:구면_p-스핀_유리_모형|구면 $p$-스핀 유리 모형]]
 ======참고문헌======