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--- 수학:텐서 [2016/10/28 00:49] – [계량 텐서] admin
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  $d\vec{s} = dx^i \vec{a}_i$
 이고 따라서 그 제곱은  $ds^2 = dx^i dx^j \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$ 이다.
- $g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$ 로 정의하면  $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ 이며, 이 때  $g_{ij}$ 를 계량 텐서라고 부른다. 데카르트 좌표계에서  $g_{ij} = \delta_{ij}$ 이다.
+ $g_{ij} \equiv \vec{a}_i \cdot \vec{a}_j$ 로 정의하면  $ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$ 이며, 이 때  $g_{ij}$ 를 계량 텐서라고 부른다.
+데카르트 좌표계에서  $g_{ij} = \delta_{ij}$ 이다.
 이제 기저 벡터  $\vec{\alpha}_i$ 를 가지는 새로운  $\tilde{x}^i$  좌표계를 생각해보자. 변위 벡터가  $\vec{s} = \tilde{x}^i \vec{\alpha}_i = \tilde{x}_i \vec{\alpha}^i$ 로 표현되므로
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 이다. __기존 좌표계__에서의 기저 벡터  $\vec{a}_i$ 로 표현되었음에 유의한다. 행렬  $J$ 가 원소로서
  $J_{ij} = \frac{\partial x^i}{\partial \tilde{x}^j}$
-를 가진다고 하자.  $J$ 의 $i $번째 열은$ \vec{\alpha}_i $를 __기존 좌표계__에서 표현한 것에 해당한다. 그리고 __새로운 좌표계__에서의 공변 계량 텐서는 행렬$ \tilde{g} = J^T J$로 표현된다.
+를 가진다고 하자. 위  $\vec{\alpha}_j$ 의 표현식과 비교해보면,  $J$ 의 $j $번째 열은$ \vec{\alpha}_j $를 __기존 좌표계__에서 표현한 것에 해당한다. 그리고 __새로운 좌표계__에서의 공변 계량 텐서는 행렬$ \tilde{g} = J^T J$로 표현된다.
 원래의  $x^i$  좌표계에서의 기술을 이  $\tilde{x}^i$  좌표계로 옮겨주는 행렬  $R$ 을 고려하면, 그 행렬의 원소는 다음처럼 주어진다:
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  $R = J^{-1}$ 이므로  $J^T J R R^T = I$ 임은 자명하다. 이를 고쳐 적어보면
-$$R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$$
+ $R J = J^T J R R^T = \tilde{g} R R^T$
-인데 좌변의  $R J$ 는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_i $들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는$ R R^T $는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은$ \vec{\alpha}^i $들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서$ \tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, 구체적으로는 반변 텐서를 공변으로 바꾸어준다.
+인데 좌변의  $R J$ 는 새로운 좌표계에서 적은 $\vec{\alpha}_j $들을 묶어놓은 것이고, 제일 오른쪽에 등장하는$ R R^T $는 마찬가지로 새로운 좌표계에서 적은$ \vec{\alpha}^i $들을 열 벡터들로 묶어둔 것이다. 이 좌표계에서 적은 계량 텐서$ \tilde{g}$가 양쪽을 연결해주는데, 구체적으로는 반변 텐서를 공변으로 바꾸어준다.
+예를 들어
+$\left\{ \begin{array}{lcl}
+x_1&=&\tilde{x}_1+\tilde{x}_2\\
+x_2&=&\tilde{x}_2
+\end{array}\right.$,
+혹은 다른 말로
+$\left\{ \begin{array}{lcl}
+\tilde{x}_1&=&x_1-x_2\\
+\tilde{x}_2&=&x_2
+\end{array}\right.$,
+라고 해보자. 위의  $J$  행렬은 이 경우 다음처럼 구해질 것이다:
+$$J = \begin{pmatrix}
+& 1\\0 & 1
+\end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix}
+\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2.
+\end{pmatrix}$$
+따라서 계량 텐서는  $\tilde{g} = J^T J = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}$ 이다. 다른 한편으로 위에서 쓴  $R$  행렬은 아래와 같을 것이다:
+$$R = \begin{pmatrix}
+& -1 \\ 0 & 1
+\end{pmatrix}
+= \begin{pmatrix}
+\vec{\alpha}^{1^T} \\
+\vec{\alpha}^{2^T}
+\end{pmatrix}.$$
+위의 항등식  $RB = gRR^T$ 로부터 아래의 관계식을 쉽게 확인할 수 있다:
+$$R \begin{pmatrix}
+\vec{\alpha}_1 & \vec{\alpha}_2
+\end{pmatrix}
+= g R \begin{pmatrix}
+\vec{\alpha}^1 & \vec{\alpha}^2
+\end{pmatrix}.$$
+즉 새로운 좌표계에서 기술한 반변 텐서  $R \vec{\alpha}^i$ 가  $\tilde{g}$ 에 의해 (역시 새로운 좌표계에서 기술한) 공변 텐서  $R \vec{\alpha}_i$ 로 옮겨진다.
 ======참고문헌======