수학:편미분

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수학:편미분 [2025/10/30 16:09] – created admin수학:편미분 [2025/11/02 20:08] (current) – [변수 순환] admin
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 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
  
 +=====변수 순환===== 
 +$f(x,z) = z$인 특별한 경우를 생각해보자. 위에서 얻은 두 식 중 앞의 것에 이를 적용해보면 다음과 같다. 
 +\[ 
 +\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_z = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z 
 +\] 
 +이때 $z$를 고정한 상태에서 미분하고 있으므로 좌변은 $0$과 같다. $\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y = 1/ \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y$이므로 식을 정리하면 다음을 얻는다. 
 +\[ 
 +\left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z = -1. 
 +\] 
 +이 결과는 어떤 점 근처에서 $x$, $y$, $z$ 사이에 관계식 $x=x(y,z)$, $y=y(z,x)$, $z=z(x,y)$를 적을 수 있는 한 일반적으로 성립하는 식이다. 이를 보기 위해 다음처럼 적어보자. 
 +\begin{eqnarray*} 
 +dx &=& \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z dy + \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y dz\\ 
 +dy &=& \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x dz + \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z dx\\ 
 +dz &=& \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y dx + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x dy. 
 +\end{eqnarray*} 
 +행렬을 사용해 적으면 다음과 같다. 
 +\[ 
 +\begin{pmatrix} 
 +-1 & \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z & \left( \frac{\partial x}{\partial z} \right)_y\\ 
 +\left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)_z & -1 & \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x\\ 
 +\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y & \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)_x & -1 
 +\end{pmatrix} 
 +\begin{pmatrix} 
 +dx\\dy\\dz 
 +\end{pmatrix} 
 += 
 +\begin{pmatrix} 
 +0\\0\\0 
 +\end{pmatrix}. 
 +\] 
 +$dx$, $dy$, $dz$가 일반적으로 0이 아닌데 우변이 0이 되었으므로 이는 저 $3\times3$ 행렬의 행렬식(determinant)이 0임을 의미한다. 
 +\begin{eqnarray*} 
 +A &\equiv& \left( \frac{\partial x}{\partial y} \right)_z\\ 
 +B &\equiv& \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)_x\\ 
 +C &\equiv& \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)_y 
 +\end{eqnarray*} 
 +라고 적으면 이는 다음처럼 정리된다. 
 +\[ 
 +\det \begin{pmatrix} 
 +-1 & A & 1/C\\ 
 +1/A & -1 &  B\\ 
 +C & 1/B & -1 
 +\end{pmatrix} 
 += 2+\frac{1}{ABC} + ABC = 0. 
 +\] 
 +이 방정식의 해는 $ABC = -1$이다. 
 +======같이 보기====== 
 +[[물리:열역학_퍼텐셜|열역학 퍼텐셜]] 
 +======참고문헌====== 
 +  * Hardy and Binek, //Thermodynamics and Statistical Mechanics// (Wiley, 2014).
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