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$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx' | ||
- | 를 얻을 수 있다. | + | 를 얻을 수 있다. 일반적으로는 |
- | + | ||
- | 일반적으로 | + | |
$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx' | ||
- | 이다. 결론적으로 해는 | + | 이어서, |
$$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx' | ||
- | 이다. | + | 이다. |
+ | |||
+ | ====검산==== | ||
+ | $n \ge 1$일 때($x_0 \equiv x$) | ||
+ | $$(-1)^n \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[- \int_0^xdx' | ||
+ | 에서 좌변을 $x$로 미분해보자. | ||
+ | |||
+ | \begin{eqnarray*} | ||
+ | && | ||
+ | &=& (-1)^n P(x) \int_0^{x}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\ | ||
+ | &=& -P(x) \mathcal{T} \frac{1}{(n-1)!}\left[- \int_0^xdx' | ||
+ | \end{eqnarray*} | ||
+ | 따라서 | ||
+ | $$\frac{d}{dx} y(x) = -P(x) \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[-\int_0^xdx' | ||
+ | 이다. | ||
====비동차==== | ====비동차==== | ||
우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. | 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다. |