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--- 수학:1차_선형_상미분방정식 [2018/12/28 17:13] – [방정식에 연산자가 있는 경우] minjae
+++ 수학:1차_선형_상미분방정식 [2024/05/23 20:58] (current) – [동차] admin
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 $P(x)$와 $Q(x)$가 주어져있을 때, $y(x)$가 다음의 미분방정식을 만족한다고 하자:
 $$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$
-초기 조건이 $y(x_0)=y_0$로 주어진다면, 해는 형식적으로 다음처럼 쓸 수 있다:
+초기 조건이 $y(x=x_0)=y_0$로 주어진다면, 해는 형식적으로 다음처럼 쓸 수 있다:
 $$y(x) = e^{-I(x;x_0)} \int_{x_0}^x Q(x') e^{I(x';x_0)} dx' + y_0 e^{-I(x;x_0)}.$$
-이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx'$이다. 위 식 우변의 첫 번째 항이 $Q(x)$에 의해 추동되는 특수해(particular solution)이며 두 번째 항은 초기 조건을 맞춰주는 역할을 한다.
+이 때 $I(x;x_0) \equiv \int_{x_0}^x P(x') dx'$이다. 위 식 우변의 첫 번째 항이 $Q(x)$에 의해 추동되는 특수해(particular solution)이며 두 번째 항은 초기 조건을 맞춰주는 역할을 한다. 밑의 내용과 비교하기 위해 적분 앞의 지수함수를 적분 속의 지수함수와 합쳐서 써놓도록 하자:
+$$y(x) = \int_{x_0}^x e^{-I(x;x')} Q(x') dx' + e^{-I(x;x_0)} y_0.$$
 =====방정식에 연산자가 있는 경우=====
+====동차====
 위의 방정식은 분리가 되므로(separable) 이를 이용하여 간단하게 해를 구할 수 있다. 하지만 미분방정식에 연산자가 있는 경우에는 이 방법으로 해를 구할 수 없다. 즉, 예컨대 우변이 $0$인 동차 방정식에서
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 마지막 식은 중간 식에서 $x_1$과 $x_2$를 바꾸어 적은 것이며, 그림에서 검정색, 파란색, 빨간색으로 표시한 적분은 위의 적분식에서 순서대로 좌측, 중간, 우측 적분식을 의미한다.
-작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 정렬(ordering) 연산자 $\mathcal{T}$를 도입하자:
+작은 $x_i$ 쪽이 오른쪽에 오게끔 하는 시간정렬(time-ordering) 연산자 $\mathcal{T}$를 도입하자:
 $$\mathcal{T} P(x_1) P(x_2) = \left\{ \begin{array}{ll}
 P(x_1) P(x_2), & x_1 \ge x_2\\
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 $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^2 y_0$$
-를 얻을 수 있다. 보다 일반적인 경우를 증명하기 위해 $x_1<x_2<\cdots<x_n<x$일 때
+를 얻을 수 있다. 일반적으로는
+$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
-$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+이어서, 결론적으로 해는
-를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면
-\begin{align*}
-\frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_2)P(x_3)\cdots P(x_{n+1}) y_0 \\
-&= \mathcal{T} P(x) \frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 \\
-&= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^{n+1} y_0
-\end{align*}
-를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는
 $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$
+이다.
-이다. 이제 비동차 방정식
+====검산====
+$n \ge 1$일 때($x_0 \equiv x$)
+$$(-1)^n \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+에서 좌변을 $x$로 미분해보자.
-$$\frac{dy}{dx} + P(x)y(x) = Q(x)$$
+\begin{eqnarray*}
+&&(-1)^n \frac{d}{dx} \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
+&=& (-1)^n P(x) \int_0^{x}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
+&=& -P(x) \mathcal{T} \frac{1}{(n-1)!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^{n-1} y_0
+\end{eqnarray*}
-의 특수해를 구하자. 이번에도 위와 같은 방법으로 $y(x)$를 구한다면
+따라서
+$$\frac{d}{dx} y(x) = -P(x) \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[-\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = -P(x) y(x)$$
-\begin{align*}
+이다.
-y(x) &= y_0 - \int_0^xdx_1\left[Q(x_1)-P(x_1)y(x_1)\right] \\
+====비동차====
-&= y_0 - \int_0^xdx_1Q(x_1) + \int_0^xdx_1P(x_1)\left[y_0-\int_0^{x_1}dx_2\bigl\{Q(x_2)-P(x_2)y(x_2)\bigr\}\right] \\
+우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다.
-&= y_0 - \int_0^xdx_1Q(x_1) + \int_0^xdx_1P(x_1)y_0 -\int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2Q(x_2) + \int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2P(x_2)\left[y_0-\int_0^{x_2}dx_3\bigl\{Q(x_3)-P(x_3)y(x_3)\bigr\}\right] + \cdots \\
+$$\frac{dy}{dx} = -P(x)y(x) + Q(x)$$
-\end{align*}
+를
+$$y(x) = y_0 + \int_0^x dx_1 \left[ -P(x_1)y(x_1) + Q(x_1) \right]$$
-이고 $y_0$로 묶으면 아래와 같이 정리할 수 있다.
+으로 쓴 다음 위에서처럼 계속 대입할 수 있다. 위에서 이미 등장한 항들 외에 $Q(x)$ 때문에 새로 등장하는 항들은 아래와 같다:
-\begin{align*}
+$$\int_0^x dx_1 Q(x_1) - \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) + \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) + \ldots.$$
-y(x) &=\left[1 + \int_0^xdx_1P(x_1) + \int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2P(x_2) + \int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2P(x_2)\int_0^{x_2}dx_3P(x_3) + \cdots\right]y_0 \\
+첫 번째 항은 변수명만 바꾸어두자:
-&\quad -\left[\int_0^xdx_1Q(x_1) + \int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2Q(x_2) + \int_0^xdx_1P(x_1)\int_0^{x_1}dx_2P(x_2)\int_0^{x_2}dx_3Q(x_3) + \cdots\right] \\
+$$\int_0^x dx_1 Q(x_1) = \int_0^x dx' Q(x').$$
-\end{align*}
+두 번째 항의 적분 순서를 바꾼 다음 변수명을 바꾸어두자.
+\begin{eqnarray*}
-$y_0$로 묵인 항을 위에서 보인 증명을 사용하여 나타내고 아래의 항을 조금 더 정리하면 다음과 같이 특수해를 구할 수 있다.
+\int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 P(x_1) Q(x_2) &=& \int_0^x dx_2 \int_{x_2}^x dx_1 P(x_1) Q(x_2)\\
+&=& \int_0^x dx' \int_{x'}^x dx'' P(x'') Q(x').
-\begin{align*}
+\end{eqnarray*}
-y(x) &= \sum_{n=0}^\infty\mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]^ny_0 \\
+세 번째 항도 적분 순서를 바꾸어 $x_3$의 적분이 제일 바깥쪽에 오도록 한다. 이 때 변수 2개 사이에서 적분 순서를 바꾸는 일을 두 번 연속해서 하면 된다:
-&\quad -\Biggl[\int_0^xdx_1Q(x_1) + \sum_{n=2}^\infty\Biggl\{\int_0^x\prod_{k=1}^{n-1}\left(dx_kP(x_k)\int_0^{x_k}\right)dx_nQ(x_n)\Biggr\}\Biggr]
+\begin{eqnarray*}
-\end{align*}
+\int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2} dx_3 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)
+&=& \int_0^x dx_1 \int_0^{x_1} dx_3 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\
-동차 방정식에서 구한 해와 비동차 방정식에서 구한 특수해를 합하면 미분방정식의 일반해를 구할 수 있다.
+&=& \int_0^x dx_3 \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3)\\
-\begin{align*}
+&=& \int_0^x dx_3 \left[ \int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) \right].
-y(x) &= \sum_{n=0}^\infty\mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[(-1)^n\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)+\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0 \\
+\end{eqnarray*}
-&\quad + \left[\int_0^xdx_1Q(x_1) + \sum_{n=2}^\infty\Bigl\{\int_0^x\prod_{k=1}^{n-1}\left(dx_kP(x_k)\int_0^x\right)\Bigr\}dx_nQ(x_n)\right] \\
+괄호 안의 내용을 살펴보면, 앞의 동차 방정식에서 했던 것과 매우 유사하게 시간정렬 연산자 $\mathcal{T}$를 통해 표현할 수 있다:
-&= \sum_0^\infty\mathcal{T}\left[\frac{1}{(2n)!}\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0 - \left[\int_0^xdx_1Q(x_1) + \sum_{n=2}^\infty\Bigl\{\int_0^x\prod_{k=1}^{n-1}\left(dx_kP(x_k)\int_0^x\right)\Bigr\}dx_nQ(x_n)\right]
+$$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' P(x'') \right]^2 Q(x_3).$$
-\end{align*}
+따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면
+\begin{eqnarray*}
+&&\int_0^x dx' Q(x') - \int_0^x dx' \int_{x'}^x dx'' P(x'') Q(x') + \int_0^x dx' \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x'}^x dx'' P(x'') \right]^2 Q(x')\\
+&=&\int_0^x dx' \left\{1 - \int_{x'}^x dx'' P(x'') + \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x'}^x dx'' P(x'') \right]^2 + \ldots \right\} Q(x')\\
+&=&\int_0^x dx' ~~\mathcal{T} \exp \left[ - \int_{x'}^x dx'' P(x'') \right] Q(x').
+\end{eqnarray*}
+전체 해는 다음처럼 쓸 수 있다:
+$$y(x) = \int_0^x dx' ~~\mathcal{T} \exp \left[ - \int_{x'}^x dx'' P(x'') \right] Q(x') + \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$