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--- 수학:1차_선형_상미분방정식 [2019/01/03 12:11] – admin
+++ 수학:1차_선형_상미분방정식 [2024/05/23 20:58] (current) – [동차] admin
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 $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^2 y_0$$
-를 얻을 수 있다. 보다 일반적인 경우를 증명하기 위해 $x_1<x_2<\cdots<x_n<x$일 때
+를 얻을 수 있다. 일반적으로는
+$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+이어서, 결론적으로 해는
+$$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$
+이다.
-$$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_n}dx_{n-1}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+====검산====
+$n \ge 1$일 때($x_0 \equiv x$)
+$$(-1)^n \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+에서 좌변을 $x$로 미분해보자.
-를 가정하자. 그리고 여기에 $x$에 대한 미분을 취하면
+\begin{eqnarray*}
+&&(-1)^n \frac{d}{dx} \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
-\begin{align*}
+&=& (-1)^n P(x) \int_0^{x}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
-\frac{d}{dx}\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n+1}}dx_n P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_n) y_0 &= P(x)\int_0^xdx_2\int_0^{x_2}dx_3\cdots\int_0^{x_n}dx_{n+1}P(x_2)P(x_3)\cdots P(x_{n+1}) y_0 \\
+&=& -P(x) \mathcal{T} \frac{1}{(n-1)!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^{n-1} y_0
-&= \mathcal{T} P(x) \frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 \\
+\end{eqnarray*}
-&= \mathcal{T} \frac{d}{dx}\frac{1}{(n+1)!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^{n+1} y_0
-\end{align*}
-를 얻을 수 있고 위에서 $n=1$일 때 성립하는 것을 보였으므로 이것은 수학적 귀납법에 의해 자연수 $n$에 대해 일반적으로 성립한다는 것을 알 수 있다. 결론적으로 해는
-$$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$
-이다.
+따라서
+$$\frac{d}{dx} y(x) = -P(x) \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[-\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = -P(x) y(x)$$
+이다.
 ====비동차====
 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다.
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 \end{eqnarray*}
 괄호 안의 내용을 살펴보면, 앞의 동차 방정식에서 했던 것과 매우 유사하게 시간정렬 연산자 $\mathcal{T}$를 통해 표현할 수 있다:
-$$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' P(x'') \right]^2 Q(x_3)$$
+$$\int_{x_3}^x dx_1 \int_{x_3}^{x_1} dx_2 P(x_1) P(x_2) Q(x_3) = \frac{\mathcal{T}}{2} \left[ \int_{x_3}^x dx'' P(x'') \right]^2 Q(x_3).$$
 따라서 $Q(x)$로 인해 새로 등장한 항들을 다시 써보면
 \begin{eqnarray*}