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--- 수학:1차_선형_상미분방정식 [2024/05/23 20:35] – [일반화] admin
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 $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2P(x_1)P(x_2) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{2}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^2 y_0$$
-를 얻을 수 있다.
+를 얻을 수 있다. 일반적으로는
-일반적으로
 $$\int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
-이다. 결론적으로 해는
+이어서, 결론적으로 해는
 $$y(x) = \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{(-1)^n}{n!}\left[\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = \mathcal{T}\exp\left[-\int_0^xdx^\prime P(x^\prime)\right]y_0$$
 이다.
+====검산====
+$n \ge 1$일 때($x_0 \equiv x$)
+$$(-1)^n \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 = \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0$$
+에서 좌변을 $x$로 미분해보자.
+\begin{eqnarray*}
+&&(-1)^n \frac{d}{dx} \int_0^xdx_1\int_0^{x_1}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_1)P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
+&=& (-1)^n P(x) \int_0^{x}dx_2\cdots\int_0^{x_{n-1}}dx_{n}P(x_2)\cdots P(x_{n}) y_0 \\
+&=& -P(x) \mathcal{T} \frac{1}{(n-1)!}\left[- \int_0^xdx'P(x')\right]^{n-1} y_0
+\end{eqnarray*}
+따라서
+$$\frac{d}{dx} y(x) = -P(x) \sum_{n=0}^\infty \mathcal{T}\frac{1}{n!}\left[-\int_0^xdx'P(x')\right]^n y_0 = -P(x) y(x)$$
+이다.
 ====비동차====
 우변의 $Q(x)$가 0이 아닌 경우에도 비슷하게 풀 수 있다.